Trisec_Approx

A completamento di quanto esposto nella pagina sulla «Trisezione impossibile» prenderemo in esame alcune costruzioni geometriche che consentono la trisezione approssimata di un angolo compreso tra 0 e 180 gradi.

Le prime due costruzioni si aggiungono a quella presentata nella «Trisezione impossibile» la terza e ultima chiarirà il nesso comune fra tutte queste costruzioni e metterà in evidenza il principio al quale tutte queste costruzioni si ispirano.

Tracciata una semicirconferenza di diametro AB e centro O e preso un punto P su di essa sia POB l'angolo da trisecare. Sia M il punto medio di AO. Si tracci la bisettrice di POB che interseca la semicirconferenza in Q. Unito Q con M si ha che l'angolo QMB è circa 1/3 dell'angolo POB. In breve, se

allora unito Q con M si ha

Sia QH l’altezza del triangolo QMB. Utilizziamo il triangolo rettangolo QMH per esprimere la tangente dell’angolo QMH che coincide con l'angolo QMB

quindi

Mettiamo in grafico sia la funzione x/3 che la funzione che la esprime in modo approssimato.

Si osserva che l'approssimazione è decisamente buona per angoli abbastanza piccoli. A 90 gradi si ha un'approssimazione in eccesso del 1,2% circa che cresce fino a diventare del 5,7% attorno ai 180 gradi. Nel grafico gli angoli sono espressi in radianti.

La spiegazione di questo andamento si ha sviluppando in serie di potenze la f ma non ci interessa questo aspetto, ci interessa invece un confronto fra costruzioni geometriche diverse e un eventuale nesso comune.

Tracciata una semicirconferenza di diametro AB e centro O e preso un punto P su di essa sia POB l'angolo da trisecare. Si tracci la bisettrice di POB che interseca la semicirconferenza in C. Si prolunghi OC di un segmento CD = OC. La retta DA taglia la semicirconferenza in Q. L'angolo QOB è circa 1/3 di POB. In breve, se

allora

L’angolo QOB è due volte l’angolo QAB in quanto angolo al centro che insiste sull’arco QB mentre QAB è l’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco. quindi

quindi

Mettiamo in grafico sia la funzione x/3 che la funzione che la esprime in modo approssimato.

Si osserva che l'approssimazione è decisamente buona per angoli abbastanza piccoli. A 90 gradi si ha un'approssimazione per difetto del 2,4% circa che cresce fino a diventare circa del 11% attorno ai 180 gradi. Nel grafico gli angoli sono espressi in radianti.

La spiegazione di questo andamento si ha ancora sviluppando in serie di potenze la f ma questo non ci interessa; è sufficiente osservare che gli scarti sono circa il doppio rispetto a quelli della costruzione precedente.

Tracciata la semicirconferenza di centro O e diametro AB preso su di essa un punto P sia POB l’angolo da trisecare. Se OC é la bisettrice dell’angolo POB tracciamo la corda CB e dividiamola in tre parti uguali CR = RS = SB. La retta OR taglia la semicirconferenza in Q. L’angolo QOB e circa un terzo di POB. In breve se

allora

Nel triangolo COB si ha

Tracciata l'altezza RH del triangolo ORB risulta

da cui

e quindi

Tutte le costruzioni presentate di fatto sono riconducibili all'ultima. In tutti i casi si tratta di dimezzare l'angolo dato, dividere il tre parti uguali la corda dell'angolo dimezzato. Se la corda si può confondere con l'arco, quindi per angoli abbastanza piccoli allora prendendo i 2/3 di x/2 si ha circa 1/3 dell'angolo assegnato. Chiaramente il dimezzamento iniziale contribuisce a rendere piccolo l'angolo e l'arco che verrà diviso approssimativamente in tre parti uguali.