Volume_Botte

In questa pagina ci occuperemo del calcolo approssimato del volume delle botti. Un tempo questi contenitori erano impiegati largamente e non solo per particolari vini di pregio. Valuteremo alcuni modelli geometrici dai quali si possono ottenere delle formule approssimate per il volume delle botti seguendo un percorso tracciato in uno studio molto dettagliato che comparve su una rivista scientifica napoletana dell'Ottocento.

Lo scritto che ci farà da guida è un articolo di Tommaso Mandoj, professore di Algebra superiore nel Real Collegio Militare [Nunziatella] dal titolo "Sulla misura del volume delle botti". L' articolo comparve sugli Annali delle opere pubbliche e dell'architettura, Napoli, 1858-59. La rivista aveva lo scopo di raccogliere memorie ed articoli italiani e stranieri riguardanti l'arte delle costruzioni ed era diretta dagli ingegneri del Corpo di Acque e Strade del Regno di Napoli: G. Rossi, N. De Rosa, L. Carrieri.

Ipotizziamo che una botte abbia la forma di un segmento di ellissoide ottenuto facendo ruotare un arco di ellisse attorno al suo asse maggiore. Ne determineremo il volume calcolando un integrale. Iniziamo prendendo l'equazione canonica di un'ellisse e facendola passare per i punti P e Q di figura.

Adesso calcoliamo l'integrale del solido di rotazione

Questa formula è del tutto analoga a quella proposta da William Oughtred (1574-1660) e basandosi su questa formula fu costruito un regolo utilizzato dalle dogane Inglesi per le misure necessarie al calcolo del volume delle botti. Sulla stessa formula si basa anche l'analogo regolo utilizzato dalle dogane di Milano e stabilito dalla Commissione dei Pesi e delle Misure (1800-1801) presieduta dall'astronomo Barnaba Oriani (1752-1832). Questo regolo era detto "staza" (staggio) e serviva per la "stazzatura" delle botti cioè per calcolarne il volume partendo da delle misurazioni.

Le varie S che compaiono nella formula sono le aree delle sezioni nell'ordine: estrema sinistra, centrale ed estrema destra, del segmento di ellissoide. Come si può notare la formula del volume della botte così ottenuta è la stessa che si ottiene applicando una formula che abbiamo incontrato nel determinare il volume del prismatoide. Il fatto non è puramente casuale e si può arrivate a questa espressione "a tre livelli" o di Sarrus tutte le volte che si calcola l'integrale di una funzione polinomiale al più di terzo grado.

Ipotizziamo ora che la botte abbia la forma di un solido di rotazione ottenuto facendo ruotare una parabola attorno ad un asse ortogonale all'asse di simmetria della curva. la botte sarà un segmento di questo solido. Iniziamo prendendo l'equazione di una parabola avente l'asse di simmetria sull'asse delle ordinate e con la concavità rivolta verso il basso e facciamola passare per i punti P e Q di figura.

Le due formule trovate si possono dedurre abbastanza facilmente e il loro calcolo non è complesso ma il problema è che non si adattano bene alla forma reale delle botti. In effetti la parte centrale della botte è ben rappresentata dal solido ottenuto dalla rotazione della parabola ma vicino alle estremità il profilo della botte è quasi rettilineo e si può approssimare bene con delle tangenti alla parabola considerata.

Furono proposte altre formule ottenute applicando dei fattori correttivi all'ultima espressione. Ne citeremo una soltanto quella del francese Dez, professore alla École Royale Militaire, che presentò nel 1773 una memoria alla Académie Royale des Sciences nella quale si arriva alla seguente espressione

Questa formula era un buon compromesso e particolarmente adatta alla costruzione di regoli per le misurazioni. Questi studi furono voluti da A.R.J. Turgot (1727-1781), Controleur général des Finances di Luigi XVI, ma il ministro cadde in disgrazia nel 1776 prima di realizzare la sua riforma fiscale. Lo studio di Dez doveva consentire la realizzazione di un sistema di misurazione e di calcolo tale da rendere le dogane francesi in grado di determinare rapidamente e con precisione il volume delle botti. In questo modo si rendeva possibile una corretta applicazione della tassazione sulle bevande e, in particolare, sul vino esportato in Inghilterra.