Per ogni
numero naturale n
> 1 e per ogni primo p
si ha
infatti
Per
n
= 1 risulta p
= 5.
II.
Per ogni
coppia di naturali x,
y
> 1 e per ogni primo p
si ha
infatti
Per x
= y
= 1 risulta p
= 5.
Quindi
per ogni
naturale n
> 1 e per ogni primo p
si ha:
e
Per
i polinomi P(n)
= n4
+ 4 il termine noto 4 non è l'unico che dà luogo alla
scomposizione in fattori vista sopra. Infatti
Se
n
= 1 in virtù
dell'identità
,
m
dispari,
risulta
che P(1)
è multiplo di 5
Uno
dei due fattori è sempre multiplo di 5, entrambi mai.
Sia p
un primo e a, b
due numeri naturali entrambi minori di p,
allora il prodotto ab
non è divisibile per p.
Gauss
Neghiamo
la tesi e supponiamo sia b
il più piccolo numero naturale tale che ab
= kp;
dato che b
< p
allora
Moltiplicando
ambo i membri per a
risulta
Dunque p
divide ar
e non potendo dividere a
< b
allora p
deve dividere r
con r <
b;
quindi r
è divisibile per p
e risulta essere più piccolo del più piccolo naturale b
che rende il prodotto ab
divisibile per p
ma questo è assurdo.
