arithmetica

Provare che per ogni naturale n si ha

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Procediamo per induzione su n

Per n = 0 chiaramente 4 + 2 + 1 = 7.

Ammesso che che per un dato n sia

allora per n + 1 si ottiene

Dallo sviluppo della potenza del binomio risulta

e dall'ipotesi induttiva

Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544.

Sophie Germain

Fourier

Per ogni naturale n > 1 e per ogni primo p si ha

infatti

Per n = 1 risulta p = 5.

II.

Per ogni coppia di naturali x, y > 1 e per ogni primo p si ha

infatti

Per x = y = 1 risulta p = 5.

Quindi per ogni naturale n > 1 e per ogni primo p si ha:

Per i polinomi P(n) = n⁴ + 4 il termine noto 4 non è l'unico che dà luogo alla scomposizione in fattori vista sopra. Infatti

Se n = 1 in virtù dell'identità

, m dispari,

risulta che P(1) è multiplo di 5

Uno dei due fattori è sempre multiplo di 5, entrambi mai.

Sia p un primo e a, b due numeri naturali entrambi minori di p, allora il prodotto ab non è divisibile per p.

Gauss

Neghiamo la tesi e supponiamo sia b il più piccolo numero naturale tale che ab = kp; dato che b < p allora

Moltiplicando ambo i membri per a risulta

Dunque p divide ar e non potendo dividere a < b allora p deve dividere r con r < b; quindi r è divisibile per p e risulta essere più piccolo del più piccolo naturale b che rende il prodotto ab divisibile per p ma questo è assurdo.