Radici intere di un polinomio

 criteri di esclusione

 
Manuali di algebra relativamente recenti propongono degli esercizi che sostanzialmente sono la dimostrazione di criteri medianti i quali è possibile escludere che un polinomio a coefficienti interi abbia delle radici intere. Nel testo di L. Kulikov (1979) si trova: “Dimostrare che il polinomio f a coefficienti interi non ha radici intere se f(0) e f(1) sono entrambi dei numeri dispari".
In alcuni manuali del passato come "Analisi algebrica" di E. D’Ovidio si trova un discreto numero di questi criteri alcuni attribuiti a Newton e a Eulero. J. Tannery (1906) ne tratta alcuni in dettaglio in una apposita nota nelle "Leçons d'algèbre et d'analyse". Esaminiamo soltanto i criteri più semplici ai quali appartiene quello riportato sopra.
E. D'Ovidio 1843-1933
Riformuliamo il problema in uno equivalente: se un polinomio f a coefficienti interi ammette una radice intera allora f(0) e f(1) non sono entrambi dei numeri interi dispari.
 Se f è un polinomio a coefficienti interi di grado n che ammette una radice intera a si può scrivere
dove g è ancora un polinomio a coefficienti interi di grado n-1 e risulta
Se a è pari anche f(0) lo è quindi f(0) e f(1) non sono entrambi degli interi dispari; se a è dispari (1- a) è pari quindi anche f(1) lo è e di nuovo f(0) e f(1) non sono entrambi dispari. Il criterio sopra esposto è forse il più semplice di una intera famiglia.
Sia k un numero naturale qualsiasi ed  f il solito polinomio che ammette la radice intera a. Se facciamo assumere all’incognita k valori consecutivi da 0 a k-1
anche i k interi -a, 1-a, …, k-1-a sono consecutivi e necessariamente uno e uno soltanto di essi è multiplo di k quindi anche uno dei k valori assunti dal polinomio è divisibile per k vale a dire che è impossibile che tutti i valori assunti dal polinomio non siano divisibili per k. Da questa osservazione
discende un criterio generale di esclusione. Ad esempio per k=3 si ha che se nessuno dei tre interi
 f(-1), f(0) ed f(1) è divisibile per 3 allora il polinomio non ammette radici intere. Per k=2 si torna al caso precedente.
 
Esistono anche criteri per escludere che il polinomio f a coefficienti interi ammetta radici razionali. Limitiamoci ad un semplice enunciato.

Sia p/q  una frazione irriducibile, se il polinomio f ammette come radice questa frazione si può scrivere

dove sia f che g sono polinomi a coefficienti interi; allora f(-1) ed f(1) debbono essere entrambi divisibili

J. Tannery 1848 -1910
rispettivamente per q+p e per  q-p, in caso contrario la frazione non può essere una radice.