Luoghi geometrici
 

Data una circonferenza sia t la tangente in un suo punto arbitrario A. Da un punto P esterno alla circonferenza si mandino le tangenti r ed s che intersecano la retta t rispettivamente in M ed N. Sussistono le seguenti proprietà:

Il luogo dei punti P per i quali i segmenti (orientati)  AM ed AN hanno somma costante e uguale a  k e' una retta che passa per il punto B della circonferenza diametralmente opposto ad A.
Il luogo dei punti P per i quali il prodotto dei segmenti  AM ed AN e' costante e pari a k e' una retta parallela alla tangente t.

Giulia Pozzolo Ferraris,  1955

Prendiamo una circonferenza di equazione  e mandiamo la tangente t alla circonferenza nel suo punto Se    imponendo ad una retta   di avere una distanza pari al raggio dal centro della circonferenza si arriva all'equazione di secondo grado

 da cui segue che

 

Intersecando le equazioni delle due tangenti passanti per P con la retta t di equazione
x = R  si ottengono le ordinate dei punti M ed N la cui somma e' k.

quindi

Tenuto conto della somma dei coefficienti angolari si ottiene l'equazione del luogo

Si tratta della porzione di retta esterna alla circonferenza passante per    e che individua sulla retta t il punto dunque .

 

 

 

 

 

Utilizzando i risultati precedenti si ha che

da cui, sostituendo la somma ed il prodotto dei coefficienti angolari, si ottiene l'equazione del secondo luogo cercato

Si tratta di una retta (la parte esterna alla circonferenza) parallela alla t.

  
Dato il triangolo isoscele ABC, da un punto M della base BC si mandi una perpendicolare alla base stessa che interseca le rette AB e AC rispettivamente in D e in E. Determinare il luogo dei punti P intersezione delle rette BE e CD.
Dalla figura si ha che

,   ,

da cui

ne risulta

Questo è sufficiente per concludere che il luogo cercato è una ellisse di semiassi OC e OA.
 
Data l'ellisse di equazione
che scritta nella forma
diventa
quindi per ogni ellisse
Nel caso di una circonferenza