ozanam

In un piccolo trattato: Nouvelle trigonométrie, pubblicato nel 1699, il matematico Jacques Ozanam (1640-1717) indicò una formula curiosa mediante la quale era possibile approssimare (noti i lati) gli angoli di un triangolo rettangolo, senza ricorrere all’utilizzo delle funzioni trigonometriche inverse.

Sull’origine della relazione l’Autore dice: « è un principio del quale non ho altra dimostrazione se non l’esperienza …».

Nel 1889 Henri Brocard (1845-1922) riprese l’argomento con una nota pubblicata su Mathesys.
Quanto segue è una rapida rivisitazione di quella nota.

Siano a, b i cateti e c l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC. In sostanza la formula di Ozanam dice che il rapporto k tra il cateto minore BC e la somma del doppio dell’ipotenusa con l’altro cateto è in relazione con il valore x in gradi dell’angolo in A.
Noi cercheremo di valutare k (quindi x) utilizzando gli angoli in radianti. Poiché

Per stimare la validità dell’approssimazione tracciamo il grafico della funzione

Per piccoli valori di x la differenza è minima; a titolo di esempio si ha:

Il numero 172 che compare nella formula di Ozanam contiene il fattore di conversione dovuto alla misurazione degli angoli in gradi; con un arrotondamento alla sesta cifra decimale risulta 171,887339.