Problemi: fissazioni e punti fissi
 
 H. Commissaire

Professeur de Mathématiques spéciales
au Lycée Louis-le-Grand		  G. Cagnac

Professeur de Mathématiques spéciales prép.
au Lycée Louis-le-Grand
COURS DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES
Masson et C ie, Éditeurs
120, boulevard Saint-Germain, Paris, VIe 
1936
 Problema.
      Due punti P, Q appartenenti rispettivamente a due semirette ortogonali di origine comune O variano in modo tale che la somma OP + OQ resti costante. Costruito il rettangolo OPMQ verificare che:
  • la perpendicolare mandata dal vertice M alla diagonale PQ passa per un punto fisso R ;
  • il prodotto scalare dei vettori  OM e OR è costante.
Assunte le due semirette come sistema di riferimento e posto OP + OQ = a si ha
 P(k, 0) e Q(0, a - k). I casi limite: k = 0  e  k = a  definiscono due rette perpendicolari agli assi il cui punto di intersezione R(a, a) è vertice di un quadrato di lato a. Il prodotto cartesiano dei due vettori 

é nullo 

quindi le due rette PQ ed MR sono ortogonali.
Se si utilizzano i metodi tipici della geometria analitica si arriva al fascio di rette

       Þ       

da cui il punto fisso  R(a, a).

Poiché

si ha immediatamente

In effetti, M appartiene ad una retta particolare, se si proietta OM su  OR  è facile interpretare il prodotto scalare come l'area del rettangolo in colore rappresentato in figura.

 

In un fascio proprio di rette avere il parametro soltanto di primo grado è condizione sufficiente ma non necessaria.

Problema.
      Verificare che le rette rappresentate dall'equazione

      passano per un punto fisso.

Riscritta l'equazione nella forma

la soluzione del sistema

 fornisce il punto cercato P(1, 3).