Rettificazioni approssimate

In molti trattati di geometria dell'Ottocento si possono trovare esercizi o problemi che riguardano delle costruzioni geometriche in grado di fornire il valore approssimato della lunghezza di un arco di circonferenza. Ovviamente possono essere soltanto delle soluzioni approssimate di una certa utilità nella pratica del disegno. Le più semplici si basano su un dato di fatto numerico:

Ma ce ne sono anche altre, più complesse, che hanno dei margini di errore inferiori.

Per ottenere un segmento che approssima la lunghezza di una semicirconferenza di raggio unitario è sufficiente individuare il lato AP del quadrato e il lato AN del triangolo equilatero inscritti nella circonferenza data. Il lato del quadrato si ottiene immediatamente e per il lato del triangolo equilatero basta riportare sulla circonferenza due corde consecutive AM e AN di lunghezza pari al raggio; il segmento AM è il lato del triangolo equilatero cercato. Quindi

Talvolta il risultato precedente è ottenuto con delle costruzioni più complesse.

Preso il punto P sulla circonferenza di raggio unitario in modo tale che P appartenga alla bisettrice di COB si proietta P sulla tangente alla circonferenza in C e si ottiene il punto Q. La bisettrice dell'angolo QOA interseca la tangente in A alla circonferenza. La lunghezza del segmento AR approssima lunghezza della semicirconferenza data.

Maurice d’Ocagne (x 1880; 1862 -1938)

E' possibile approssimare un quarto di circonferenza con un margine di errore decisamente inferiore.

Preso sulla circonferenza di raggio unitario il punto A e riportando da A due corde AB e AC pari al raggio si ottiene il lato BC del triangolo equilatero inscritto. Sull'asse di BC e da parte opposta rispetto ad A si riporta il segmento DE = 2 BC. Dall'ipotenusa EB del triangolo rettangolo EDB si sottrae il segmento EF = 2r ottenendo FB, questo segmento approssima piuttosto bene la lunghezza di un quarto della circonferenza.

Antonín Pleskot (1866 -1935)

Anche la lunghezza della semicirconferenza può essere ottenuta con un margine di errore paragonabile a quello ottenuto nella costruzione precedente.

Preso il un punto A sulla circonferenza riportiamo la corda AB di lunghezza pari al raggio. L'asse di AC interseca in D la tangente in A alla circonferenza. Sulla tangente alla circonferenza e da parte opposta rispetto a D riportiamo un segmento EA di lunghezza pari al diametro meno la lunghezza di AD. L'ipotenusa BE del triangolo rettangolo BAE avente per cateti il diametro AB e il segmento di tangente AE approssima la lunghezza di mezza circonferenza.

Lorenzo Mascheroni (1750 -1800)