solidi_rot

Un manuale di geometria della metà dell'Ottocento propone il calcolo delle dimensioni di un cilindro di volume un litro. Si tratta del litro che si utilizza nella misura dei liquidi, cioè di un cilindro avente l'altezza doppia del diametro e la cui capacità è di 1 dm³. Il problema consiste nel determinare le misure del diametro e dell'altezza a meno di 1/10 di mm. A conti fatti il testo individua un cilindro con le seguenti caratteristiche:

d = 86,0 mm

h = 172,0 mm

V = 0,9991 litri

S = 0,523 dm²

Proviamo una variante cioè cerchiamo le misure di un cilindro di volume 1 dm³ avente il diametro uguale all'altezza sempre con delle misure a meno di 1/10 di mm. Abbastanza velocemente si ottiene:

d = 108,4 mm

h = 108,4 mm

V = 1,0004 litri

S = 0,461 dm²

A parte considerazioni di carattere estetico l'unica differenza significativa è che, nel secondo caso, il recipiente può essere costruito (ovviamente) con una quantità di materiale inferiore a quella necessaria per costruire il primo cilindro.

Problema. Tagliare un triangolo ABC con una retta DE parallela al lato AC in modo tale che i solidi ottenuti da una rotazione completa attorno alla retta AC del triangolo DBE e del trapezio ADEC siano equivalenti.

Siano BG = h l’altezza del triangolo ABC rispetto al lato AC e BF = x, 0 < x < h, l’altezza del triangolo DBE rispetto al lato DE. Chiaramente si può risolvere imponendo che il solido ottenuto dalla rotazione del triangolo ABC intorno alla retta AC abbia un volume doppio del solido ottenuto dalla rotazione del triangolo DBE attorno alla stessa retta. E’ noto (forse non troppo) che il volume del solido che si ottiene dalla rotazione di un triangolo attorno ad una retta parallela ad uno dei suoi lati si ottiene dal prodotto dell’area del triangolo per la lunghezza della circonferenza descritta dal suo baricentro durante la rotazione.

Allora se V è il volume del solido generato da ABC e V ' il volume generato da DBE si ha:

Ma i triangoli ABC e DBE sono simili e il rapporto delle loro aree è pari al quadrato del rapporto di similitudine quindi

da cui l’equazione di terzo grado

e la sola soluzione accettabile è la prima.