La trisezione impossibile

 

Il primo febbraio 1909 riprese le pubblicazioni “La Scienza per tutti” un quindicinale della Società Editrice Sonzogno di Milano. La rivista non si occupava di matematica ma aveva una rubrica:
“Domande e Risposte: una rubrica aperta a coloro che hanno qualche curiosità da soddisfare, qualche dubbio da chiarire. E sono gli stessi lettori che si incaricheranno di rispondere alle diverse domande .”.

In questo antenato dei forum compare la domanda numero 3: “dividere matematicamente in tre parti uguali un angolo”. La domanda diede origine all’invio e alla pubblicazione di parecchie soluzioni ottenute mediante delle costruzioni geometriche che diversi lettori dimostrarono essere tutte errate. Una breve nota della Redazione sulla impossibilità della soluzione con riga e compasso non fu presa in seria considerazione.

Neppure il pacato invito del Prof. Umberto Carrara (Lendinara) a consultare “la monografia di A. Conti nel libro di Federigo Enriques. Questioni riguardanti la geometria elementare, Bologna,1900” ebbe maggiore successo.
La Redazione decise quindi di chiudere la discussione.

Interpretando e semplificando una delle costruzioni proposte sembra emergere una soluzione approssimata.
Sia un angolo e OC la sua bisettrice
. Si tracci un rombo DEFG avente i lati
di lunghezza 3 unità arbitrarie, con DE su un lato dell'angolo
e i lati EF ed EG paralleli alla bisettrice OC. Tracciata la retta MN che interseca OB in P sia OT  la parallela a MN passante per O. L'angolo TOB è circa un terzo di AOB.
Infatti posto si ha . Ricordando gli sviluppi in serie di potenze delle funzioni
trigonometriche: , risulta che  per e
abbastanza piccoli ma quindi
Dalla tabella con alcuni angoli in gradi e l'errore percentuale è possibile stimare il grado di approssimazione.
 
 e %
0 0 0,000 0,000
18 6 6,003 0,046
36 12 12,022 0,184
54 18 18,075 0,419
72 24 24,181 0,756
90 30 30,361 1,204
108 36 36,639 1,776
126 42 43,045 2,488
144 48 49,614 3,362
162 54 56,391 4,428
180 60 63,435 5,725
 
Tutto sommato se l'angolo da "trisecare" è acuto con la costruzione presa in esame ci si può attendere un errore massimo di poco superiore all'uno per cento che, per le ordinarie esigenze del disegno, è un compromesso accettabile.