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Sommario

Parametri Fondamentali

 

Correlazioni tra variabili sperimentali

 

Quando diverse coppie di valori  (x,y) rappresentati in un diagramma si dispongono, per esempio in modo allineato e regolare lungo una linea retta, si può dire che i dati sono tra loro correlati linearmente e che l’equazione della retta che li congiunge, è l’espressione algebrica della legge che dispone i punti sul grafico in quel modo.

Non sempre, però, la correlazione lineare esprime il migliore adattamento ai i dati. A volte, infatti, i valori si dispongono sul piano (x,y) in modo ordinato e con regolarità, ma forse la retta non realizza la migliore congiunzione dei punti. In altre parole i punti potrebbero essere meglio raccordati da una curva. In  Fig.(1) si vede un esempio di correlazione lineare rappresentato da dati di allungamento di una molla in funzione della forza traente, mentre in Fig (2) si vede un esempio di correlazione curvilinea, in questo caso parabolica, ottenuta dall’analisi del moto accelerato.

Le rette o curve che raccordano i dati sperimentali possono essere disegnate ad occhio, cercando di attraversare al meglio tutti i punti che rappresentano i dati, oppure elaborate con un criterio oggettivo per individuare la migliore retta o curva che si adatta alla serie di punti.

Il criterio oggettivo è conosciuto come regressione lineare o polinomiale, una procedura matematica che individua la retta o curva che meglio si adatta ai dati sperimentali, Best Fit, con il minimo scarto possibile.

Le osservazioni precedenti tornano utili quando avendo a disposizione una serie di valori derivanti da misure sperimentali, nel nostro caso valori fotometrici nel sistema UBV, si dispongano tali valori su un diagramma cartesiano.

Gli scenari possibili a questo punto possono essere di tre tipi:

1)   I dati si dispongono sul piano x,y in modo casuale e disordinato

2)   I dati si dispongono in modo ordinato in forma rettilinea

3)   I dati si dispongono in modo ordinato secondo una curva anche complessa

Evidentemente i casi interessanti sono rappresentati dalle possibilità (2) e (3), perché il semplice fatto che tutte le misure sperimentali tendano ad addensarsi in modo ordinato, ci dice che le variabili in gioco, scelte per rappresentare il fenomeno, sono tra loro correlate e la curva o la retta che li congiunge è la funzione correlante.

Ricavare però l’espressione analitica della curva o retta che congiunge i punti non è sempre una cosa semplice e per questo si ricorre ad una metodologia oggettiva e statisticamente significativa che va sotto il nome di interpolazione lineare o polinomiale.

Si dice che una serie di punti è interpolata linearmente quando la funzione che li può rappresentare è una retta.

Ovviamente per una serie di punti che può essere rappresentata da una curva complessa, si parla di interpolazione polinomiale.

Restando in campo assolutamente pratico, tutto quanto esposto sopra può essere ottenuto in modo facile veloce e sicuro con il nostro foglio elettronico Excel.

Ci serviremo di un piccolo applicativo generato in Vba, che ci permetterà di fare una serie di esercizi.

In fig.3 vediamo il nostro applicativo in cui sono stati introdotti dei valori sperimentali grossolanamente semplici in tabella:

X = 1,2,3,4,5,6

e

Y = 2,4,6,8,10,12

con il preciso scopo di ottenerne in restituzione l’equazione algebrica che rappresenta il loro andamento sul piano x,y.

  Fig. 3

Come possiamo ben vedere, i punti si distribuiscono in modo ordinato lungo una retta. Se premiamo a questo punto il comando interpola lineare, l’applicativo ci fornirà sul grafico la retta passante per i punti e nella finestra “ Eq. Lin.” mostrerà l’equazione analitica della retta fig. 4 :

  Fig. 4

In questo caso l’equazione è molto semplice y = 2x.

Aumentiamo leggermente il grado di complicazione immettendo nuovi valori per x e y in tabella come si vede in fig. 5 :

  Fig. 5

In questo caso l’andamento dei punti più che da una retta, può essere raccordato da una curva leggermente più complessa.

Vediamo cosa ci dice il nostro applicativo fig. 6, quando tentiamo di ottenere il best – fit utilizzando un polinomio, ad esempio, del 3° ordine:

  Fig. 6

Il polinomio del 3° ordine tracciato dall’applicativo ha la forma analitica:

y = 0,287x ³ – 2,6746x ² +10,61x – 7,3333 che si legge nella finestra “ Eq. Poli “, ed è certamente una buona approssimazione della vera funzione raccordante i punti.

Tuttavia se osserviamo bene la zona compresa tra i valori x=3 e x=4 il polinomio di 3° ordine media e non raccorda perfettamente i punti.

Forse un polinomio di grado superiore al terzo potrebbe raccordare meglio i punti e per provarlo chiediamo all’applicativo di ricercare il best – fit con un polinomio del 5° ordine fig. 7.

  Fig. 7

Molto probabilmente non è necessario alcun commento in quanto la figura precedente parla da sola, tuttavia vogliamo insistere ancora un attimo su questo importantissimo argomento, anticipando quello che vedremo in seguito.

Proviamo ad applicare quanto visto fino a questo momento ai nostri argomenti di astrofisica, selezionando qualche calibrazione tra quelle disponibili in questo piccolo applicativo, per vedere come si possa effettivamente determinare una espressione analitica, che possa poi venire utilizzata da un programma come Hr Trace.

Selezioniamo la zams empirica di Johnson – Iriarte e vediamo la ricerca e determinazione della sua espressione analitica fig. 8.

Per una elevata precisione di fitting selezioniamo l’ordine del polinomio al massimo consentito in Excel che è pari al 6° :

  Fig. 8

Il nostro applicativo ci risponde fornendo l’equazione analitica del fitting come segue :

y = - 5,5539 x ⁶ + 28,68 x ⁵ – 53,014 x ⁴ + 42,63 x³ – 14,462 x² +7,1092 x + 1,4026

Ora, poiché nella determinazione empirica della zams sul piano (B-V)o, Mv le variabili prese in considerazione sono rispettivamente il colore intrinseco (B-V)o e la magnitudine assoluta Mv, sostituendo nella precedente si ha:

     Mv = - 5,5539(B-V)o ⁶ + 28,68(B-V)o ⁵ – 53,014(B-V)o⁴ + 42,63(B-V)o³ –                      14,462(B-V)o² +7,1092(B-V)o + 1,4026

Da quest’ultima equazione segue immediatamente che se si conosce il colore intrinseco di una stella di sequenza principale classe di luminosità V, è possibile attraverso la precedente espressione calcolarne la magnitudine assoluta !!

Nel caso della zams empirica di Johnson – Iriarte dunque, per una stella si sequenza principale di cui si sia determinato un colore intrinseco per esempio pari a (B-V)o = - 0.22, quest’ultima avrà, applicando la precedente, una magnitudine assoluta pari a Mv = - 1.45 !!

NB. : i valori tabellari per (B-V)o ed Mv immessi in fig. 6 sono quelli determinati da Johnson - Iriarte e pubblicati in: “ Basic Astronomical Data “ Chicago U.P. a pagina 216 del capitolo 11 “Photometric System.”

Tabella Standard Zero Age Main Sequence da Johnson

Due pagine prima (214), l’autore fornisce due tabelle molto importanti relative ai colori intrinseci delle stelle come segue:

B-V INTRINSIC COLORS

U-B INTRINSIC COLORS