Parametri fondamentali e calibrazioni empiriche

 

I parametri fondamentali che caratterizzano una stella sono la luminosità, la massa e il raggio.

Questi parametri sono tra loro legati attraverso relazioni determinate empiricamente con accurate osservazioni e poi pienamente giustificate anche in via del tutto teorica.

Basti ricordare in primis la relazione che lega luminosità, raggio e temperatura espressa dalla ( 1 ) come segue:

L = 4pR2sT4    ( 1 )

Spiegazioni esaurienti della (1) il lettore le può trovare nei prossimi paragrafi del sito, dove si potrà comprendere come la (1) giustifichi, chiaramente, la distribuzione statistica delle stelle sul diagramma HR.

Poichè, come veredemo nel seguito, il diagramma HR mostra essenzialmente una precisa correlazione tra temperatura (tipo spettrale) e luminosità, pare naturale cercare di ottenere i parametri principali di una stella sfruttando per quanto possibile tale correlazione.

Vedremo anche, nel paragrafo fotometria UBV, come l'indice di colore B-V, nel sistema fotometrico UBV di Jonhson & Morgan sia un ottimo indicatore di temperatura.

Dal momento che quest'ultimo è facilmente misurabile anche per stelle molto deboli e non richiede lunghi tempi di osservazione, come invece necessario per ottenere uno spettro, gli astronomi hanno preferito utilizzare tale indice in sostituzione del tipo spettrale sul diagramma HR.

Questa scelta ha condotto i ricercatori, a individuare una serie di calibrazioni da cui ottenere, attraverso l'uso dell'indice B-V; la temperatura effettiva, la magnitudine assoluta, la correzione bolometrica, la luminosità effettiva ed il raggio di una stella.

Cercheremo adesso, partendo dalle tabulazioni di Schmidt-Kaler, di ricavare tali importanti relazioni, di cui ci serviremo spesso in seguito:

1)   Relazione indice di colore intrinseco – Temperatura Effettiva (B-V)O, TEff

2)   Relazione indice di colore intrinseco – Magnitudine Assoluta (B-V)O, MV

3)   Relazione indice di colore intrinseco – Correzione Bolometrica (B-V)O, BC

4)   Relazione Temperatura Effettiva – Luminosità (Log TEff), Log (L/LS)

Per calcolare i raggi delle stelle utilizzeremo una relazione dovuta a Wesselink, tra il logaritmo del raggio Log R,  la magnitudine assoluta MV e una funzione SV che rappresenta la luminosità superficiale, correlate tra loro dalla seguente formula :

MV – SV + 5LogR = 15,15         ( 2 )

L’espressione precedente diventa immediatamente fruibile usando la fotometria UBV, se si riesce a stabilire una correlazione tra SV e l’indice di colore nella forma

SV  = f(B-V)O  per ottenere, appunto, il raggio.

Nella determinazione dei raggi fotometrici, il nostro software Hr Trace utilizza le procedure messe a punto da Wesselink e Popper, due ricercatori che hanno contribuito molto in questo senso.

In particolare SV  è definita da Wesselink come segue:

SV = VO + 5Logd”      ( 3 )

Dunque con la scala scelta una stella che abbia magnitudine VO = 0 e che mostri un diametro di 1 secondo d’arco deve avere luminosità superficiale SV = 0.

Nella (3) VO rappresenta la magnitudine corretta per l’assorbimento interstellare, mentre d” rappresenta il diametro angolare espresso in secondi d’arco.

Va ricordato che la (2) fornisce i valori di raggio intermini di raggio solare (R/RS).

Chiudendo questa breve parentesi sul lavoro di Wesselink, proviamo con l’aiuto dell’applicativo per gli esercizi a determinare, partendo dalle funzioni tabellari così come sono state espresse dai ricercatori, le relazioni analitiche utilizzate da Hr Trace per fare i calcoli.

Dal momento che molti ricercatori si sono avvicendati nella determinazione delle calibrazioni empiriche e che dal punto di vista pratico ci sono alcune piccole differenze tra le loro tabulazioni cercheremo, nel portare avanti il discorso, di seguire le tabulazioni di Schmidt-Kaler e segnalare puntualmente ove si utilizzi un autore diverso.

Raduneremo in una unica tabella i dati riguardanti le stelle di sequenza principale classe luminosità V :

Tab. (I) Valori da Schmidt-Kaler (Landolt-Bornstein 1982).

Tipo Spettrale

(B-V)O

Mv

(U-B)O

Mv

T ( °K )

Log T (°K)

O3

-0,33

-6,0

-1,22

-6,0

52500

4,72

O5

-0,33

-5,7

-1,19

-5,7

44500

4,65

O6

-0,33

-5,5

-1,17

-5,5

41000

4,61

O8

-0,32

-4,9

-1,14

-4,9

35800

4,55

B0

-0,30

-4,0

-1,08

-4,0

30000

4,48

B3

-0,20

-1,6

-0,71

-1,6

18700

4,27

B5

-0,17

-1,2

-0,58

-1,2

15400

4,19

B8

-0,11

-0,2

-0,34

-0,2

11900

4,08

A0

-0,02

0,6

-0,02

0,6

9520

3,98

A2

0,05

1,3

0,05

1,3

8970

3,95

A5

0,15

1,9

0,10

1,9

8200

3,91

A8

0,25

2,4

0,09

2,4

7580

3,88

F0

0,30

2,7

0,03

2,7

7200

3,86

F2

0,35

3,5

0,00

3,5

6890

3,84

F5

0,44

3,6

-0,02

3,6

6440

3,81

F8

0,52

4,0

0,02

4,0

6200

3,79

G0

0,58

4,4

0,06

4,4

6030

3,78

G2

0,63

4,7

0,12

4,7

5860

3,77

G5

0,68

5,1

0,20

5,1

5770

3,76

G8

0,74

5,5

0,30

5,5

5570

3,75

K0

0,81

5,9

0,45

5,9

5250

3,72

K2

0,91

6,4

0,64

6,4

4900

3,69

K5

1,15

7,4

0,98

7,4

4350

3,64

K7

1,33

8,1

1,21

8,1

4060

3,61

M0

1,40

8,8

1,22

8,8

3850

3,59

M2

1,49

9,9

1,18

9,9

3580

3,55

M5

1,64

12,3

1,24

12,3

3240

3,51

M8

1,93

16,0

1,53

16,0

2640

3,42

E’ necessario insistere sul fatto che i dati di Tab. ( I ) si riferiscono a stelle di sequenza principale, poiché sia i colori intrinseci che la magnitudine assoluta e la temperatura variano tra le classi di luminosità.

Utilizzando il solito applicativo per ottenere la forma analitica delle calibrazioni di Tab.(I) ricaveremo, a titolo di esempio, una dopo l’altra le seguenti relazioni:

1)   Correlazione (B-V)O,T(°K)

2)   Correlazione (B-V)O,MV

3)   Correlazione (U-B)O,MV

4)   Correlazione (B-V)O,Log T(°K)

5)   Curva dei colori intrinseci (B-V)O,(U-B)O

6)   Correlazione MBOL,Log M

Affrontando la ricerca della prima funzione, ciò che in realtà vogliamo ottenere è una relazione algebrica tra l’indice di colore e la temperatura effettiva, in cui introducendo valori dell’indice di colore ci vengano restituiti valori di temperatura effettiva.

Occorre tuttavia, prima di introitare pedestremente i dati di tabella (I) del nostro applicativo per gli esercizi, osservare che i dati così come sono tabulati non possono garantire un adeguato fitting, soprattutto per le classi spettrali da O3 ad O6, in quanto queste ultime hanno tutte lo stesso valore dell’indice (B-V)O.

Lo stesso Schmidt-Kaler, a questo proposito, in Lamdolt-Bornstein Vol. 2B pag.453 utilizza indici di colore diversi nei diversi intervalli di temperatura, ed in particolar modo per le stelle molto calde e blu, appartenenti alle classi spettrali O e B, preferisce usare l’indice (U-B)O in luogo dell’indice (B-V)O, come si vede nella tabella (II) seguente.

Tab. (II)

Andamento della temperatura in funzione dell’indice di colore da Schmidt-Kaler 1982

Tipo Sp

(U-B)O

Te

Tipo Sp

(B-V)O

Te

Tipo SP

(R-I)O

Te

O3

-1,22

52500

A0

-0,02

9520

M0

0,92

3850

O4

-1,20

48000

A1

0,01

9230

M1

1,03

3720

O5

-1,19

44500

A2

0,05

8970

M2

1,17

3580

O6

-1,17

41000

A3

0,08

8720

M3

1,30

3470

O7

-1,15

38000

A5

0,15

8200

M4

1,43

3370

O8

-1,14

35800

A7

0,20

7850

M5

1,61

3240

O9

-1,12

33000

A8

0,25

7580

M6

1,93

3050

B0

-1,08

30000

F0

0,30

7200

M7

2,10

2940

B1

-0,95

25400

F2

0,35

6890

M8

2,40

2640

B2

-0,84

22000

F5

0,44

6440

     

B3

-0,71

18700

F8

0,52

6200

     

B5

-0,58

15400

G0

0,58

6030

     

B6

-0,50

14000

G2

0,63

5860

     

B7

-0,43

13000

G5

0,68

5770

     

B8

-0,34

11900

G8

0,74

5570

     

B9

-0,20

10500

K0

0,81

5250

     
     

K1

0,86

5080

     
     

K2

0,91

4900

     
     

K3

0,96

4730

     
     

K4

1,05

4590

     
     

K5

1,15

4350

     
     

K7

1,33

4060

     

La tabella (II) di Schmidt-Kaler risolve l’indeterminazione presente per la classe spettrale O in tabella (I).

Qui infatti le classi da O3 a O9 sono molto ben discriminate dall’indice (U-B)O.

Hr Trace, tuttavia, nel calcolare le temperature stellari dall’indice di colore utilizza in luogo della calibrazione di Schmidt-Kaler quella più recente dovuta a

P. Flower presentata in tabella (III).

7)   Tabella (III): calibrazione (B-V)O , T(°K) Flower

RICERCA DELLA CORRELAZIONE (B-V)O,T(°K)

Proviamo comunque, a titolo di esempio, a rappresentare la relazione (B-V)O,T(°K)

di tabella (I) per vedere alcune limitazioni imposte da Excel nella ricerca del

fitting e della relativa funzione correlante.

Fig. 1 Determinazione della calibrazione indice di colore (B-V)O  –  Temperatura.

Andiamo subito al centro della questione osservando attentamente l’andamento della regressione polinomiale calcolata da Excel.

In fig. 1 si nota l’incapacità del fitting a rappresentare correttamente la curva sull’intervallo (B-V)0 selezionato.

Tale comportamento è dovuto sostanzialmente al fatto che a partire da valori negativi dell’indice di colore (B-V)O, la pendenza è molto verticale rispetto all’andamento della funzione nel campo positivo di (B-V)O, ed ancora dal fatto che i valori sperimentali nel range (B-V)O tra 0,1 e 2,0 sono abbastanza diradati.

L’equazione che ci viene restituita da Excel vale:

TEFF  = 35109(B-V)O6 - 190124(B-V)O5 + 376864(B-V)O4 - 329989(B-V)O3 +

+ 119217(B-V)O2 + 15056(B-V)O + 7913,2

La congiunzione dei punti sul grafico potrebbe, molto probabilmente, essere rappresentata più correttamente da un polinomio di ordine superiore al 6°.

Nel nostro caso, però, abbiamo il vincolo imposto da Excel che limita il fitting polinomiale al 6° ordine.

Una soluzione soddisfacente, in questi casi, può essere ottenuta attraverso le tre strade seguenti:

1)     Si decide di tentare utilizzando applicativi come CurveExpert 1.3, che ci permette di ottenere fitting polinomiali fino al 19° ordine.

2)     Si tenta di separare in due o più spezzoni la funzione da fittare.

3)     Oppure si può, per linearizzare, passare ad una rappresentazione logaritmica delle variabili in gioco.

Nel primo caso utilizzando CurveExpert 1.3 si può ottenere il best-fit per questa correlazione con un polinomio di grado 8 o 9, ottenendo un buon grado di coincidenza con i punti infatti si trova per l'indice di correlazione R = 0.9876.

I valori dei coefficienti per un polinomio di grado 8 calcolati con CurveExpert 1.3 sono:

                               a = 10025,788

                               b = -8489,3493

                               c = 18211,523

                               d = -259300,46

                               e = 981570,84

                               f = -1588662,4

                               g = 1274118,5

                               h = -499384,68

                               i = 76310,677

i coefficienti devono essere in questo caso utilizzati ricordando che CurveExpert 1.3 rappresenta la funzione analitica di best-fit come segue :

y = a + bx + cx 2 + dx 3 + ………… + zx n    ( 4 )

Dunque seguendo i risultati ottenuti con CurveExpert 1.3 si può scrivere la seguente :

TEFF = 76310(B-V)O8 - 499384(B-V)O7 + 1274118(B-V)O6 - 1588662(B-V)O5 +

+ 981570(B-V)O4 - 259300(B-V)O3 + 18211(B-V)O2 - 8489(B-V)O + 10025

CurveExpert 1.3 é reperibile in rete al seguente indirizzo: http://www.statistics.com/content/freesoft/abc/curveexp.html

Ci sono casi tuttavia, dove anche aumentando a dismisura l’ordine del polinomio non si riesce ad ottenere un buon fitting a causa di quanto detto sopra. In questi casi l’unica ragionevole possibilità e quella di spezzare la funzione in due o più segmenti o passare, se possibile, ai logaritmi.

Se dovessimo operare tale scissione nel nostro esempio, sarebbe possibile definire a titolo puramente illustrativo, i due campi:

campo 1 tra (B-V)O = -0,33 e (B-V)O = 0,58 ( rappresentato in fig. 3)

campo 2 tra (B-V)O =  0,58 e (B-V)O = 1,93 ( rappresentato in fig. 4)

 come si vede in fig. 3 e 4.

Fig. 2  1° spezzone della funzione

Fig. 3  2° spezzone della funzione

In questo caso si potrà applicare le due equazioni discriminando su due intervalli dell’indice di colore (B-V)O.

LINEARIZZARE PASSANDO AI LOGARIMI

Proviamo nella stessa situazione ad introitare in tabella gli stessi valori precedenti previa la trasformazione della temperatura TEFF in Log(TEFF) e vediamo cosa succede.

Fig. 4  Tentativo di linearizzazione passando ai logaritmi.

In Fig. 4 siamo passati al logaritmo della temperatura e come si vede il fitting risulta molto buono su tutta la gamma (B-V)0.

La correlazione restituita da Excel in questo caso sarà:

Log(TEFF) = 0,3346(B-V)O6 – 1,8938(B-V)O5 + 4,035(B-V)O4 – 4,0577(B-V)O3 +

+ 2,0056(B-V)O2 - 0,7285(B-V)O + 3,9766

RICERCA DELLA CORRELAZIONE (B-V)O, MV

Nella ricerca della seconda funzione, vogliamo ottenere una relazione algebrica tra l’indice di colore e la magnitudine assoluta, in cui introducendo valori dell’indice di colore ci vengano restituiti valori di magnitudine assoluta. Questa funzione prende anche il nome di Zams empirica.

Fig. 5 Determinazione della calibrazione indice di colore (B-V)O  –  magnitudine assoluta Zams empirica.

Per la correlazione (U-B)O, MV ci limiteremo all’intervallo delle Early Type tipi spettrali da O fino a A2 vedi fig. 6.

Fig. 6 Correlazione (U-B)O, MV

IL DIAGRAMMA COLORE-COLORE  (B-V)O, (U-B)O

Altrimenti conosciuto come diagramma due colori, è il piano su cui è rappresentata la funzione caratteristica dei colori intrinseci.

Utilizzando i dati disponibili in tabella ( I ) possiamo ricavare la calibrazione colori intrinseci per Schmidt – Kaler fig. ( 7 ).

Fig. ( 7 ) Relazione due colori.

Il lettore attento avrà certamente notato che, tutte le calibrazioni ricavate dalla tabulazione di Schmidt – Kaler vengono espresse in funzione dell’indice di colore (B-V)O.

La ragione per tale scelta è, come vedremo quando parleremo di fotometria UBV, dovuta al fatto che l’osservabile (B-V), sotto le opportune condizioni, è un parametro abbastanza semplice da ricavare.

Utilizzando poi la calibrazione dei colori intrinseci appena vista, è possibile ricavare tramite una tecnica che prende il nome si sliding – fit technique il valore medio dell’eccesso di colore E(B-V) legato al colore intrinseco (B-V)O dalla seguente:

E(B-V) = (B-V) – (B-V)O          ( 3 )

da cui si può evidentemente ottenere

(B-V)O = (B-V) – E(B-V)         ( 4 )

La tecnica per determinare E(B-V) è illustrata nel paragrafo fotometria e colori intrinseci del sito.

Utilizzando il software Hr Trace la determinazione del parametro <E(B-V)> è ottenibile in modo semplicissimo per via grafica sul diagramma due colori.

RIASSUMINAMO A QUESTO PUNTO LE CORRELAZIONI E FUNZIONI UTILIZZATE IN HR TRACE

Valori di eccesso di colore, colore intrinseco ecc., vengono determinati individualmente per le early type dal software Hr Trace, con i vari metodi indicati dai vari ricercatori e utilizzando le formule che seguono:  

a) CLARIA'

b) GUTIERREZ - MORENO

c) MORGAN - HARRIS

d) Q METHOD

e) REDDENING LINES

In tutto l’applicativo Hr Trace ove non specificatamente indicato (U-B)o Early  Type si ricava da :

Magnitudine assoluta Mv, correzione bolometrica Bc, il rapporto (LSTELLA/LSOLE), il rapporto (RSTELLA/RSOLE), il rapporto (MSTELLA/MSOLE),  sono calcolati in Hr Trace come specificato di seguito.

Indichiamo brevemente con quale formulazione il codice calcola il contenuto della tabella “Magnitudini assolute e altri dati”.

Mv è calcolata come segue :                                   

          Mv = Vo - < Vo – Mv >    

Mbol è calcolata come segue :                                 

          BC = Mb – MbO = -2,5Log(L/LO) + Cost.

          Cost = MbO = 4,72                                           

          Mb = -2,5Log(L/LO) + 4,72

Il rapporto ( Lv/LO ) è calcolato come segue :                                

          (Lv/LO ) = 10(4,83 – Mv)/2,5       con  LO = 4,83      

Il rapporto (R/RO ) è calcolato come segue :                                  

     Formula di Wesselink:     Mv – Sv +5LogR = 15,15    1969 Mnras 144, 297 

     Formula di Popper : LogR = -0,2Mv -2Fv + 0,2C1     1980 Ara & A 18, 115

     con C1 = 42,255               

Per i parametri Sv ed Fv i valori sono calcolati da Hr Trace sulla base delle relazioni (B-V)o, Sv ed (B-V)o, Fv tabulate dagli autori nei lavori elencati sopra ed espressi analiticamente dalle seguenti :                                  

Per Wesselink :                               

Sv = -2,0035(B-V)o6+ 10,636(B-V)o5 – 21,014(B-V)o4 + 18,627(B-V)o3 -

6,705(B-V)o2 + 4,0163(B-V)o – 12,421     

Per Popper :                                  

Fv = 0,1908(B-V)o6 – 0,8845(B-V)o5 + 1,5729(B-V)o4 – 1,4084(B-V)o3 +

+ 0,6549(B-V)o2 – 0,4511(B-V)o + 3,9551

Le temperature effettive sono calcolate usando un polinomio interpolante la calibrazione selezionata come segue:                                                                              

     L’espressione generale del polinomio interpolante e :                                   

Y  =  A + Bx1 + Cx2 + Dx3 + ……………. + Zxn

dove  “ a , b, ……. , z  “  rappresentano i coefficienti della regressione polinomiale e “ n “ rappresenta il grado del polinomio interpolante.                                   

Le calibrazioni disponibili sono :                                 

     1)   Flower                        

     2)   Bohm-Vitense                        

     3)   Johnson                       

     4)   Hayes                    

     5)   Morton & Adams                      

     6)   Arribas & Martinez Roger                      

Il rapporto (M/Msole) è ottenuto applicando l’equazione fornita da  Schmidt-Kaler 1982 come segue :   

Log M/Ms = 0,48 – 0,105MBOL   Valida per -8 ≤ MBOL < 10,5  

Ricordiamo che i valori di massa calcolati con la precedente sono validi solo per le stelle di sequenza principale classe di luminosità V e che forti deviazioni dalla relazione media sono osservate nelle binarie a contatto.

La fig 54 successiva estratta da “Landolt Bornstein” mostra i parametri fisici medi per Massa, Raggio, Gravità Superficiale e Densità.

LC

V

III

I

V

III

I

V

III

I

V

III

I

Sp

(MK)

M/Ms

M/Ms

M/Ms

R/Rs

R/Rs

R/Rs

Log g/gs

Log g/gs

Log g/gs

Log r/rs

Log r/rs

Log r/rs

O3

120

 

140

15

   

-0.3

   

-1.5

   

O5

60

 

70

12

 

30

-0.4

 

-1.1

-1.5

 

-2.6

O6

37

 

40

10

 

25

-0.45

 

-1.2

-1.45

 

-2.6

O8

23

 

28

8.5

 

20

-0.5

 

-1.2

-1.4

 

-2.5

B0

17.5

20

25

7.4

15

30

-0.5

-1.1

-1.6

-1.4

-2.2

-3

B3

7.6

   

4.8

   

-0.5

   

-1.15

   

B5

5.9

7

20

3.9

8

50

-0.4

-0.95

-2

-1

-1.8

-3.8

B8

3.8

   

3

   

-0.4

   

-0.85

   

A0

2.9

4

16

2.4

5

60

-0.3

 

-2.3

-0.7

-1.5

-4.1

A5

2

 

13

1.7

 

60

-0.15

 

-2.4

-0.4

 

-4.2

F0

1.6

 

12

1.5

 

80

-0.1

 

-2.7

-0.3

 

-4.6

F5

1.4

 

10

1.3

 

100

-0.1

 

-3

-0.2

 

-5

G0

1.05

1

10

1.1

6

120

-0.05

-1.5

-3.1

-0.1

-2.4

-5.2

G5

0.92

1.1

12

0.92

10

150

0.05

-1.9

-3.3

-0.1

-3

-5.3

K0

0.79

1.1

13

0.85

15

200

0.05

-2.3

-3.5

0.1

-3.5

-5.8

K5

0.67

1.2

13

0.72

25

400

0.1

-2.7

-4.1

0.25

-4.1

-6.7

M0

0.51

1.2

13

0.6

40

500

0.15

-3.1

-4.3

0.35

-4.7

-7

M2

0.4

1.3

19

0.5

 

800

0.2

 

-4.5

0.8

 

-7.4

M5

0.21

 

24

0.27

   

0.5

   

1

   

M8

0.06

   

0.1

   

0.5

   

1.2

   

Fig. 54 Tabulazione Massa, Raggio, Gravità Superficiale e Densità Media

delle stelle tratta da : “Landolt Bornstein – Physical parameters of the Stars –“ Schmidt-Kaler 1982

La correlazione empirica tra magnitudine bolometrica e massa ricavata dallo studio dei sistemi binari

Tra le correlazioni importanti di cui bisogna necessariamente fare menzione vi è quella esistente tra la magnitudine bolometrica  e il logaritmo della massa che può essere ricava  empiricamente dallo studio dei sistemi binari.

Questo tipo di correlazione, tra le altre cose, ci permetterà di ottenere l’espressione cercata utilizzando questa volta un fitting lineare come si vede in fig. 8.

Fig. 8 Relazione empirica MBOL , Log M  per le primarie e secondarie dal catalogo Svechnicov & Bessonova.

Come possiamo facilmente vedere, le espressioni per Mbol e Log M ricavate dal catalogo di Svechnicov e Bessonova, differiscono leggermente da quelle indicate precedentemente e dovute a Schmidt-Kaler, tale differenza è probabilmente dovuta a diversità nel campione preso in considerazione per derivare il fitting lineare.

Tutto ciò non deve preoccuparci eccessivamente, anzi, ci dimostra come piccole differenze siano intrinseche nella metodologia correlativa, e di come il valore dei coefficienti di un fitting lineare o polinomiale dipenda sempre dalla numerosità e purezza del campione preso in considerazione.

Possiamo quantizzare tutto ciò se guardiamo alla correlazione delle primarie ricavata dal catalogo di Svechnicov e Bessonova ed espressa dal nostro applicativo come: Mbol = -8.8394Log(M)+ 4.1596, modificando la precedente possiamo, con pochi passaggi, esprimere Log(M), tenendo sempre conto che tutti i valori sono in rapporto a quelli solari, come segue:

Log M/Ms = 0.470 - 0.113Mbol

Quantificando ora con quest'ultima, si può facilmente vedere che per una stella di magnitudine bolometrica pari a zero il valore ricavato, differirà dall'espressione dovuta a Schmidt-Kaler di un fattore pari al 2%, mentre per valori ripettivamente più positivi e più negativi lo scostamento sarà evidentemente maggiore e dovuto alla diversa pendenza delle due rette.

 

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