PERCHE' LA FISICA ESCLUDE CHE LE
TORRI GEMELLE SIANO CROLLATE SPONTANEAMENTE
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Analisi del trasferimento della quantità di moto
durante il collasso dei piani superiori del WTC1
Di Gordon Ross. Articolo originale -in inglese- tratto da
qui.
Autore:
L'autore di questo documento, Gordon Ross, è nato a Dundee, Scozia. Ha
conseguito la laurea sia in Ingegneria Meccanica che in Ingegneria della
produzione, laureandosi alla Liverpool John Moores University, nel 1984. Può
essere contattato a
gordonjross@yahoo.com.
In breve:
Questo documento esamina le fasi di carico elastico e di deformazione plastica
delle colonne del WTC1 dopo l'impatto degli ultimi 18 piani dell'edificio su
quelli sottostanti ed il loro effetto sul trasferimento della quantità di moto
dopo la collisione. Viene quindi derivata una equazione di bilancio energetico
che mostra esserci un deficit di energia che avviene prima del completamento
della fase di snervamento il quale non avrebbe permesso al collasso di
proseguire, sotto le ipotesi formulate in questo documento.
Introduzione:
L'analisi precedente riguardo al trasferimento della quantità di moto durante il
crollo delle torri le ha modellate come un insieme di piani sospesi nello spazio
ed ha esaminato il processo di trasferimento della quantità di moto attraverso
una serie di urti elastici ed anelastici, indipendenti gli uni dagli altri.
Questo tipo di analisi estrapola il trasferimento della quantità di moto dal suo
contesto, caratterizzato da altri effetti degli urti. Questo avviene perché
questo tipo di analisi assume che gli impatti abbiano effetto soltanto sul piano
superiore della sezione su cui essi avvengono. La realtà dei fatti è invece che
essi hanno un effetto su diversi piani della sezione sottostante e per
effettuare un'analisi valida, bisogna tener conto di ognuno di questi
trasferimenti della quantità di moto
Se assumiamo che la sezione superiore, che comprende 16 piani in caduta, cada
sotto una piena accelerazione gravitazionale attraverso lo spazio occupato da un
piano (rimosso), per una distanza di 3,7 metri, possiamo calcolare che la sua
velocità al momento dell'impatto sarà 8,52 metri al secondo e la sua energia
cinetica, dovuta a massa e velocità, di circa 2.105 GJ (usando l'ipotesi di
58000 tonnellate come dettagliato nel rapport di Bazant & Zhou [1]). Nella
realtà ci dovrebbero essere alcune perdite di energia dovuta alla resistenza
residua delle colonne in cedimento della sezione rimossa, ma esse vengono
trascurate per lo scopo dell'analisi.
Al momento dell'impatto con la sezione sottostante, la massa in caduta dovrebbe
trasmettere una tensione che crescerà da zero, sino alla tensione di snervamento
delle colonne del piano impattato, in un periodo di tempo e percorrendo una
distanza finita.
Questa forza verrà percepita anche dalle colonne al di sotto del piano urtato
per primo.
Analisi:
La sezione superiore in caduta, con una velocità di non più di 8,5 metri al
secondo, al momento dell'urto incontrerà la resistenza delle colonne impattate
e, come prima operazione, dovrà necessariamente caricare queste colonne,
dapprima nell'intervallo di carico elastico e quindi attraverso la fase di
snervamento. Esamineremo per prima cosa questo intervallo di tempo incrementale.
Bazant/Zhou [1] mostrano, nella loro analisi, che il comportamento elastico e
plastico di una colonna di acciaio, sottoposta ad un carico di punta dinamico
consista in tre fasi distinte:
Esse possono essere visualizzate in un grafico tensione/deformazione e
consistono in una fase iniziale elastica, una di snervamento ed una rapida fase
di deformazione plastica.
1- La fase elastica mostra una relazione lineare tra carico e deformazione sino
al limite di tensione elastica. Il carico a questo punto raggiunge la tensione
di snervamento e la deformazione al limite elastico per l'acciaio è generalmente
lo 0,2% della sua lunghezza iniziale.
2- La fase di snervamento permette che sia applicato lo stesso carico sino a
quando la deformazione verticale raggiunge il 3%, punto in cui la colonna inizia
a formare dei punti di imbozzamento.
3- La terza fase mostra una rapida discesa della tensione richiesta per
continuare la deformazione, con la tensione necessaria minore di quella di
snervamento. Questa fase continua fino a quanto la deformazione verticale
eguaglia la lunghezza originale. In altre parole la colonna è piegata in due.
Per deformare le colonne del piano, impattato per primo, del 3%, cosa
sufficiente per completare la fase di snervamento, cioè una distanza di circa
0,111 metri, sarebbero necessari un minimo di 0,013 secondi, supponendo una
velocità costante di 8,5 metri al secondo.
La velocità dell'onda di propagazione attraverso un un materiale generico è data
dalla formula generale di propagazione d'onda:
Velocità = radice quadrata (modulo compressibilità/densità)
Che per l'acciaio strutturale è dell'ordine di 4500 metri al secondo. L'onda di
propagazione della forza d'impatto avrebbe viaggiato quindi per 58,7 metri nel
tempo di 0,013 secondi. Questo significa che durante il tempo impiegato dalle
colonne impattate nella fase di snervamento, la stessa tensione sarebbe stata
avvertita ad una distanza minima di 58,7 metri, o approssimativamente 16 piani,
dall'impatto. Questi piani, perciò, avrebbero subito una deformazione elastica
in reazione, e proporzionale, alla tensione di snervamento applicata al piano
impattato. Queste deformazioni avrebbero esse stesse richiesto del tempo ed
avrebbero fatto sì che l'onda di propagazione si muovesse ulteriormente verso il
basso coinvolgendo, di nuovo, un numero maggiore di piani.
Possiamo stimare la deformazione elastica delle colonne di questi 16 piani come
compresa tra 0 e 7 mm. La massima deformazione elastica di una colonna di 3,7m,
usando l'approssimazione, comunemente accettata dello 0,2% della lunghezza
iniziale, è di 7,4 mm. Le colonne nei piani superiori avrebbero subito una
deformazione quasi pari alla massima deformazione elastica perché la loro
tensione di snervamento è simile, benché leggermente più grande, a quella del
piano impattato inizialmente. Le colonne dei piani più distanti dalla zona
dell'impatto avrebbero avuto una sezione trasversale maggiore, richiedendo
quindi tensioni maggiori per causare la massima deformazione elastica. Usare
soltanto metà della massima deformazione elastica, 56mm /16*7/2) è, di nuovo,
un'assunzione a favore della continuazione del crollo.
La deformazione elastica dei piani sottostanti avrebbe aumentato la distanza
attraverso la quale la sezione in caduta avrebbe dovuto muoversi per caricare le
colonne impattate e completare la deformazione del 3% della fase di snervamento.
Il tempo impiegato, utilizzando di nuovo una velocità costante di 8,5
m/sec,verrebbe innalzato a circa 0,02 secondi, permettendo all'onda di
propagazione di muoversi ed avere effetto su 8 piani ulteriori.
Poiché queste colonne subiscono una deformazione verticale, i piani a cui sono
fissate si muovono verso il basso ed avrebbero quindi anche loro una velocità ed
una quantità di moto.
Perdite di energia:
Una semplice equazione della conservazione della quantità di moto, ignorando
questi movimenti, considererebbe 16 piani in caduta che si muovono ad 8,5 m/sec
prima dell'impatto che diventano 17 piani che cadono a (8,5*(16/17)) = 8m/sec
dopo l'impatto. Questo non tiene conto del fatto che un minimo di ulteriori 24
piani sarebbero stati fatti muovere verso il basso a velocità variabili.
Per stimare ed illustrare queste ulteriori variazioni della quantità di moto,
possiamo assumere che il piano che è 25 piani al di sotto della zona d'impatto
rimanga statico e che la velocità dei 24 piani sovrastanti vari in modo lineare
dalla velocità di caduta della sezione in caduta, sino a zero.
Quantità di moto prima dell'impatto = 16 piani che si muovono a 8,5 m/sec
Quantità di moto dopo l'impatto = 17 piani che si muovono a V2 m/sec + 1 piano
che si muove a 23/24*V2 m/sec + 1 piano che si muove a 22/24*V2m/sec+....+1
piano che si muove a 2/24*V2 m/sec + 1 piano che si muove a 1/24*V2 m/sec.
16*8,5 = V2 (17 +11,5)
V2 = 16 * 8,5 /28,5 = 4,8 metri al secondo.
La velocità della sezione impattante verrebbe quindi ridotta, per la collisione,
da 8,5 m/sec ad una velocità minore di 4,8 m/sec invece che gli 8m/sec derivati
dall'equazione della quantità di moto che non include questo fattore. E' da
notare anche che la riduzione della velocità darebbe ancora più tempo all'onda
di propagazione per viaggiare verso il basso attraverso le colonne della torre,
permettendo che altri, ulteriori, piani ne subiscano l'effetto..
L'energia cinetica della sezione in caduta sarebbe influenzata in modo simile
ma, poiché essa dipende dal quadrato della velocità, la riduzione in energia
cinetica sarebbe più pronunciata.
E.C. Della sezione in caduta prima dell'impatto =
16 piani che si muovono a (8,5 m/sec)^2
E.C. Della sezione in caduta dopo l'impatto =
17 piano che si muovono a (4,8 m/sec)^2
Perdita percentuale di E.C. = 1- (17 * 4.82) / (16 *8.52) * 100% = 66%
Questa è una stima per difetto della perdita energetica, poiché la decelerazione
avrebbe concesso più tempo perché l'onda di propagazione viaggiasse ed avesse
affetto su più piani, ma, anche così, si mostra un assorbimento di circa il 66%
dell'energia cinetica totale della sezione in caduta.
Bilancio Energetico:
Poiché vi erano circa 2,1 GJ a disposizione al momento del primo urto, una
perdita del 66% ridurrebbe questa stima a 714 MJ. L'energia cinetica verrebbe
però incrementata dell'energia potenziale rilasciata dall'ulteriore movimento
verso il basso della massa in caduta e, se assumiamo che la caduta sia avvenuta
per l'intersa lunghezza del 3% assunto per la fase di snervamento del piano
impattato e della deformazione elastica dei piani sottostanti, allora l'energia
potenziale addizionale è
58*106 * g * (0.111 + .056) = + 95MJ.
L'energia di deformazione consumata dalle colonne del piano impattato, durante
la fase elastica e quella di snervamento, può essere calcolata utilizzando la
tensione di snervamento. Quella usata in questa analisi è derivata utilizzando
la massa al di sopra della zona d'impatto, 58000 tonnellate, ed un fattore di
sicurezza 4. L'esame della geometria della colonna con riferimento alle
equazioni di Eulero mostra che questa è una sottostima sia della tensione di
snervamento che della deformazione da compiere prima della rottura, e questa è
una grossa assunzione a favore della continuazione del crollo. Un fattore di
0,029 è stato incluso per modellare il profilo della tensione durante la fase di
snervamento (del 3%)
Il profilo della tensione mostra una crescita lineare da zero sino alla tensione
di snervamento allo 0,2% della lunghezza, seguita da una tensione costante per
il restante 2,8% della lunghezza.
Energia di deformazione plastica:
58 * 106kg * 4 * g * 3.7m * 0.029 = - 244 MJ.
Un valore simile ma lievemente inferiore a questo sarebbe necessario per il
primo piano del blocco superiore che colpisce i piani sottostanti. Dato che
questo piano portava un carico inferiore, 15 piani, rispetto al piano colpito,
17 piani, le sue capacità di progetto sarebbero state proporzionalmente
inferiori. Forti di questa conoscenza è possibile stimare che l’energia
consumata da questo piano sarebbe stata
(244 MJ * 15 / 17) = - 215 MJ.
La risposta elastica entro la capacità delle colonne del piano sottostante
avrebbe richiesto ulteriore energia, assorbita sotto forma di energia di
deformazione. Questa può essere stimata usando un coefficiente di sicurezza pari
a 4, una massa di 58000 tonnellate, una distanza di 0.056 metri e un fattore
pari a 0.5 per riflettere il profilo di tensione
58 * 106kg * 4 * g * 0.056m * 0.5 = - 64 MJ.
Il movimento verso il basso di questi piani in risposta all’impatto rilascerà
altra energia potenziale dovuta alla loro compressione; usando le stesse
deformazioni usate in precedenza e un valore di massa proporzionale al numero di
piani, questa sarà
58 * 106kg * 24/16 * g * 0.056m / 2 = + 24 MJ.
Altre perdite di energia sono evidenti in un’analisi della compressione dei
piani all’interno del blocco superiore in caduta. Questi piani, costruiti con
colonne dotate di sezione inferiore rispetto a quelle colpite, sarebbero
incapaci di sostenere il carico critico presente sul fronte di impatto e
subirebbero deformazioni plastiche oltre il loro limite elastico, ma per
semplicità assumiamo che subiscano solo la loro completa deformazione elastica.
Questa è un’altra supposizione largamente favorevole al proseguimento del
crollo.
La deformazione totale sarebbe pari a 15 piani moltiplicati per la curvatura
elastica di 7.4mm, e l’energia di deformazione consumata può essere stimata come
15 * 7.4 * 10-3 * 4 * 58 * 106 * g / 2 = - 126 MJ.
Il movimento dei piani nel blocco superiore rilascerà ulteriore energia
potenziale dovuta alla loro compressione e al conseguente movimento. E’
verosimile che questa energia si manifesti sotto forma di cedimenti all’interno
della sezione superiore, ciononostante è stata aggiunta come energia disponibile
per il proseguimento del crollo. Il piano più in alto si muoverà verso il basso
di 15 volte la deformazione elastica mentre quello più in basso resterà statico,
entrambi rispetto al punto di impatto, fornendo ulteriore energia potenziale
15 * 0.0074 * 58 * 106 * g / 2 = + 32 MJ.
Una considerevole quantità di energia sarebbe necessaria per polverizzare il
calcestruzzo nella fine polvere che si può notare nelle fotografie e da altre
fonti. Per quantificare questa energia è necessario usare il valore di energia
di frattura, ma questo è variabile in funzione, tra gli altri fattori, della
dimensione del pezzo di calcestruzzo e della sua composizione, in particolare
della granulometria degli inerti. Non c’è un valore tipico. Per stimare
l’energia consumata mi riferirò al lavoro del Dr. Frank Greening [2]. Bisogna
notare che Greening, come Bazant, non ha al momento sostenuto che il crollo
della torre sia stato provocato da altro che dal danno dovuto all’impatto
dell’aereo con successivi e conseguenti incendi. La torre, usando i valori di
Greening, conteneva approssimativamente 50000 tonnellate di calcestruzzo, e si
suppone che solo il 10% di questo sia stato polverizzato ad una dimensione di 60
micrometri. Un kg di calcestruzzo con questa granulometria avrà una superficie
di 67 m2. Possiamo ora usare il valore di Greening per l’energia di frattura del
calcestruzzo, pari a 100 J/m2 per mostrare che l’energia richiesta per un piano
sarebbe
50 * 106kg / 110piani * 67m2 * 100J/m2 * 10% = - 304 MJ.
Potrebbe essere considerato inverosimile che un impatto a bassa velocità possa
impiegare grandi quantità di energia nella polverizzazione dei materiali, questo
è più verosimile negli stadi successivi del crollo. Tuttavia, le vaste
espulsioni di polvere sono state visivamente evidenti fin dall’inizio del
crollo.
Riassunto dell’energia:
Il bilancio energetico può essere riassunto come
Energia disponibile;
Energia cinetica 2105 MJ
Energia potenziale Ulteriore movimento verso il basso 95 MJ
Compressione della sezione impattante 32 MJ
Compressione della sezione impattata 24 MJ
Energia disponibile totale 2256 MJ
Energia richiesta;
Perdite di quantità di moto 1389 MJ
Energia di deformazione plastica nel piano inferiore impattato 244 MJ
Energia di deformazione plastica nel piano superiore impattato 215 MJ
Energia di deformazione elastica nei piani inferiori 64 MJ
Energia di deformazione elastica nei piani superiori 126 MJ
Polverizzazione del calcestruzzo sul piano impattante 304 MJ
Polverizzazione del calcestruzzo sul piano impattato 304 MJ
Energia totale richiesta 2646 MJ
Deficit minimo di energia -390 MJ
Conclusioni:
Un meccanismo d’attivazione che coinvolga una perdita totale ed istantanea di
tutta la capacità portante su un piano, sufficiente a causare una caduta di 3.7m
in piena accelerazione gravitazionale, seguito da un impatto “pulito” non è
realistico. Questo lavoro è presentato per mostrare le quantità relative
delle energie coinvolte. Questa analisi sottostima le richieste energetiche
utilizzando un valore costante di velocità, pari alla velocità all’impatto, di
8.5 m/s. Questa è un’ipotesi in favore della continuazione del crollo.
La presente analisi presume inoltre che ogni piano avesse la medesima massa.
L’effetto di questa ipotesi è quello di sottostimare le perdite energetiche
all’impatto. Non si è tenuto conto della massa che cade al di fuori del
perimetro della torre, né soprattutto dell’espulsione di grandi quantità di
polvere all’inizio del crollo o dell’energia richiesta per provocare lo
spostamento di queste masse oltre il perimetro.
Questa analisi non considera l’energia consumata per danneggiare le travi di
collegamento o altri elementi strutturali, per sconnettere i pavimenti dai
supporti sulle colonne, per distruggere il contenuto dei piani o altro. Non si
tiene conto di alcun dispendio di energia di deformazione durante la caduta
iniziale per tutta l’altezza di un piano, nonostante questa sarebbe una porzione
sostanziale dell’input energetico iniziale.
Il bilancio energetico del crollo diventa deficitario durante la fase di
compressione plastica delle prime colonne colpite, mostrando che non ci
sarebbe sufficiente energia disponibile, a partire dall’energia potenziale
rilasciata dalla sezione superiore, per soddisfare tutte le richieste
energetiche dell’impatto. L’analisi mostra che, nonostante le ipotesi fatte in
favore della continuazione del crollo, il movimento verticale della sezione
in caduta sarebbe stato arrestato prima del completamento della fase di
compressione del 3% delle colonne colpite, ed entro circa 0.02 secondi
dall’impatto. Senza le molteplici ipotesi fatte in favore della continuazione
del crollo, il deficit energetico sarebbe molto più alto del valore ottenuto di
-390 MJ.
Un crollo dovuto alla sola forza di gravità non sarebbe continuato
oltre quel punto.
Bisogna comprendere che le perdite di energia alle quali ci si è riferiti come
perdite di quantità di moto non possono essere riutilizzate come energia di
deformazione o nell’energia richiesta per polverizzare i piani, riducendo
pertanto la richiesta totale di energia. Questi trasferimenti di energia
esisterebbero indipendentemente dallo stato di integrità dei piani dopo
l’impatto e si manifesterebbero come calore nei materiali colpiti.
L’energia cinetica considerata è quella della massa impattante della sezione in
caduta. C’è energia cinetica nei piani sottostanti che iniziano a muoversi, ma
questa è stata persa dalla massa impattante. L’unica sorgente di energia
disponibile per la massa in caduta è l’energia potenziale e, a meno che questa
energia sia rilasciata tramite il crollo di ulteriori colonne, la massa in
caduta si arresterebbe. Mentre l’onda di propagazione scende lungo la torre
caricando altre colonne, l’energia si diffonderà attraverso i piani sottostanti
come energia di deformazione elastica, che è riutilizzabile, al contrario di
quella di deformazione plastica. Al decelerare della sezione superiore, la forza
che essa è in grado di esercitare si ridurrà, e la curvatura elastica si ridurrà
in risposta. Mentre questa si riduce, l’energia di deformazione elastica
precedentemente assorbita dai piani inferiori si riconvertirà in energia
potenziale. In altri termini si scaricherà, o verrà restituita. Le torri
potevano essere ben descritte come una serie di molle e smorzatori, colpita da
una grande ma relativamente lenta e meno sostanziale altra serie di molle e
smorzatori.
In questa analisi il danno, a parte il piano rimosso per iniziare il crollo, è
limitato al danno subìto dai due piani che si sono scontrati, e perfino questa
semplificazione non è sufficiente a portare le colonne colpite attraverso la
fase di snervamento fino alla fase di deformazione plastica che è caratterizzata
ed accompagnata dall’insorgenza di punti di imbozzamento. Bisogna notare che
questo concentra l’energia dell’impatto. In realtà molti dei piani più vicini al
punto di impatto e specialmente quelli dotati di colonne con sezione minore nel
blocco superiore in caduta avrebbero subìto una parte del danno ciascuno. Questo
dissiperebbe ulteriormente l’energia in punti lontani dal fronte del crollo.
Riferimenti e fonti:
[1] Journal of Engineering Mechanics ASCE, 9/13/01, Expanded
9/22/01, Appendices 9/28/01) Why Did the World Trade Center Collapse? Simple
Analysis By Zdenek P. Bazant1, Fellow ASCE, and Yong Zhou
[2] Energy transfer in the WTC collapse by F. R. Greening. Visionabile ai
seguenti link:
http://www.911myths.com/WTCREPORT.pdf
http://www.911myths.com/Energy_Transfer_Addendum.pdf
Traduzione a cura degli utenti Ege ed Ashoka per
www.luogocomune.net.