ACUSTICA MUSICALE

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INDICE

Acustica

Isocronismo pendolare

La vibrazione dei corpi

Caratteristiche del suono Misure acustiche

Intesità

Altezza

Timbro

Riflessione

Eco

Riverbero e rimbombo

Risonanza

Terzo suono

Interferenza

Battimenti

Psicoacustica

Denominazione note

Cent

Armonici

La scala pitagorica

Comma pitagorico

La scala dei rapporti semplici

Comma sintonico o di Didimo

La scala temperata

Tabella comparativa

Formule di acustica musicale

Terminologia antica

ACUSTICA

SUONO

Si può definire suono la percezione uditiva di vibrazioni dei corpi elastici. 

ISOCRONISMO PENDOLARE

Per introdurre il concetto di vibrazione viene usata l'oscillazione pendolare

A Galilei (1564-1642) si deve la legge sul pendolo. Il Pendolo consiste di un corpo appeso a un vincolo in modo che il sistema può essere posto in oscillazione. Il tempo delle oscillazioni è costante (isocronismo) qualunque sia la loro ampiezza fig. 2 (A-B). Il tempo per compiere un'oscillazione completa è detto periodo, fig. 2 (A-E),  il periodo varia secondo la lunghezza del pendolo. 

Fig 1

Il sistema viene messo in movimento in base all'energia applicata ad A, e lo spostamento effettuato viene definito ampiezza (A-B) fig. 2. Il ciclo completo per tornare ad A, viene definito periodo (A-E). Al primo periodo ne seguiranno altri di ampiezza decrescente, mantenendo inalterato il tempo per compire un intero periodo (A-E) 

La oscillazioni pendolari sono proporzionali alla radice quadrata della lunghezza pendolare fig. 2 (0-A). Per raddoppiare la durata del l'oscillazione deve essere quadruplicata la lunghezza del pendolo. 

Fig 2

LA VIBRAZIONE DEI CORPI

Ciò che avviene nel movimento pendolare può essere equiparato alle vibrazioni fig. 3, la cui lunghezza d'onda corrisponde al periodo A-E . L'onda acustica si propaga sfericamente tramite l'aria in una serie di compressioni e rarefazioni.

Fig. 3

Fig. 4

Eccitando una corda ventre la vibrazione si propaga in due direzioni opposte che nei punti terminali nodi si rifletteranno in direzioni opposte facendo assumere alla onda l'aspetto simile all'onda sinusoidale.  

CARATTERISTICHE DEL SUONO MISURE ACUSTICHE

INTENSITA'

L'ampiezza dell'onda, v. fig. 3, è determinata dall'intensità del suono che si misura in decibel db.

suono piano

suono forte

Il decibel db rappresenta la decima parte del Bel B, dal nome dello scienziato statunitense A. G. Bell 1847-1922.

Il Bell B si riferisce non ad una unità di misura assoluta bensì relativa, che esprime il rapporto tra  la potenza del suono P e P₀  potenza di riferimento,  dove P rappresenta la potenza del suono e  P₀ rappresenta convenzionalmente la pressione acustica necessaria per raggiungere la soglia di udibilità per la frequenza di 1000 Hz. Il valore di Bell 0 indica la soglia di udibilità.

B si definisce come il logaritmo in base 10 del rapporto tra P e P₀ .

Definizione di logaritmo: 

log. di un numero reale positivo b è l'esponente x cui bisogna elevare un numero dato a (base) per ottenere b. In simboli x=log_ab, nei calcoli si usa a=10.  

La progressione dei decibel è quindi logaritmica 10 100 1000 ... e non aritmetica 1 2 3 ... , quindi se consideriamo due suoni rispettivamente di 1 e 2 decibel  il loro rapporto sarà 10/100 e non 1/2.

La soglia di udibilità rappresenta la pressione acustica necessaria affinché un suono sia udibile.

La soglia del dolore rappresenta la pressione acustica oltre la quale riceviamo una sensazione di dolore.

ALTEZZA

Il periodo dell'onda è determinato dall'altezza del suono e viene misurato in herz Hz, che indica la frequenza di un suono in un minuto secondo, vibrazioni secondo v/s, cicli secondo c/s . Un suono acuto avrà una frequenza maggiore di un suono basso e quindi un periodo più breve. 

suono acuto

suono grave

Il suono di riferimento, diapason, è il LA3 che corrisponde a 440 Hz, stabilito dal congresso di Londra del 1931.

La frequenza viene espressa con la seguente formula:

f=v/l

dove f è la frequenza,  v é la velocità di propagazione del suono al secondo e lambda l la lunghezza d'onda,

Considerando v=340m/s la lunghezza d'onda del diapason di 440 hz sarà:

l=v/f

l=340/440

l=0,772

Il periodo, lunghezza d'onda, e la frequenza sono inversamente proporzionali: f = 1/l, cioè la lunghezza d'onda l è l’inverso della frequenza f, maggiore è il lunghezza d'onda minore sarà la frequenza e viceversa. es. l =  1/2 secondo, f = 2l  /secondo. 

Con il La 415 herz Hz si ha un'accordatura un semitono sotto rispetto a 440 herz Hz

L'uomo percepisce suoni che vanno da 16 a 18000 Hz, sotto i 16 si parla di infrasuoni e sopra i 18000 di ultrasuoni. Il pianoforte ha un'estensione che va da Do0 32,7 Hz al Do7 4186 Hz.

TIMBRO

Un suono puro è un suono prodotto da un'onda sinusoidale. Il diapason produrre un’onda sonora pura, cioè non emette, insieme all’armonica fondamentale altre armoniche

Gli strumenti musicali emettono onde complesse, formate dalla sommatoria di altre armoniche che ne caratterizzano il timbro. 

fondamentale (prima armonica)

seconda armonica

terza armonica

 quarta armonica

L'onda complessa risultante dalle prime quattro armoniche sarà determinata dalla loro somma algebrica.

RIFLESSIONE

Quando un'onda di pressione acustica incontra un corpo una parte di essa può essere riflessa, in questo caso la riflessione avrà un angolo uguale a quello di incidenza. 

ECO

L'effetto d'eco si produce quando la riflessione invece di sommarsi al suono diretto ha una sua riflessione indipendente. Nel nostro organo uditivo la sensazione sonora dura circa 1/10 di secondo, se gli stimoli si presentano ad intervalli minori si sovrappongono, mentre si presentano ad intervalli maggiori ad 1/10 si avranno stimoli separati.

Ripetizione di un suono dovuta a riflessione dell'onda sonora da parte di un ostacolo verso l'ascoltatore; è interessante notare che si può verificare il fenomeno dell'eco quando la distanza tra la fonte sonora e la parete è 17 metri o maggiore.

Infatti:

Velocità del suono nell'aria = 340 m / s

Tempo di percezione di n. 2 suoni distinti da parte dell'orecchio (1 / 10) s

Perciò

340 (m / s) . 1 / 10 (s) = 34 m

34 m / 2 = 17 m

Per evitare questo fenomeno, che a volte può dare origine a un suono confuso e fastidioso, chiamato rimbombo (se pf < 17 m) si utilizzano sulle pareti materiali fonoassorbenti: sughero, polistirolo, tappeti, velluti.....

 Nota storica: Dionisio, tiranno di Siracusa intorno al IV secolo a.C., si era fatto costruire una grotta con una conformazione che gli permetteva di ascoltare dalle sue stanze le voci dei prigionieri (questa grotta tutt'ora visitabile a Siracusa è nota come "Orecchio di Dionisio"). Anche nella sala delle statue, nella cupola del Campidoglio di Washington, si può ascoltare un buon fenomeno di eco.

RIVERBERO E RIMBOMBO

Quando tra il suono diretto e quello riflesso non intercorre un sufficiente tempo da permettere un effetto d'eco si ha la riverberazione, che consiste in un prolungamento smorzate dell'effetto diretto. Tale effetto si verifica soprattutto nelle chiese da cui deriva l'espressione effetto cattedrale.

Effetto simile alla riverberazione è il rimbombo in cui si hanno varie esaltazioni dell'effetto diretto.

RISONANZA

Un corpo la cui naturale frequenza di vibrazione coincide da quella di un'onda di pressione eccitante entra in vibrazione con essa.

Si definisce risuonatore il corpo elastico messo in vibrazione.

TERZO SUONO

Giuseppe Tartini è considerato lo scopritore del terzo suono o suono differenziale.

Nell'emissione di due suoni si produce un terzo suono la cui frequenza corrisponde alla differenza delle frequenze dei due suoni principali, tale frequenza corrisponde a quella dei battimenti prodotti dai due suoni.

Quando tra i due suono intercorre un rapporto armonico della serie degli armonici allora anche il terzo suono appartiene a questa serie.

INTERFERENZA

Fenomeno in cui due vibrazioni si sovrappongono l'una all'altra.

L'interferenza si manifesta come aumento d'intensità quando si ha concordanza di fase, e come annullamento o diminuzione in opposizione di fase.

BATTIMENTI

Quando due suoni di diversa altezza si trovano in concordanza di fase sommano la loro energia dando luogo al fenomeno di battimenti. Il loro effetto consiste in un serie periodica di rafforzamenti.

PSICOACUSTICA

Intensità altezza e timbro non sono tra loro indipendenti.

Il Phon è unità di misura del livello soggettivo dell'intensità. Per convenzione la scala in phon coincide a quella in decibel per un suono di 1000 Hz, quindi anch'essa procede con progressione logaritmica. Fletcher e Munson hanno individuato sperimentalmente le curve isofoniche lungo le quali viene percepita costante l'intensità di un suono sinusoidale. Si osserva come con il decrescere delle frequenza, rispetto ad un suono di riferimento di 1000 Hz è necessario un aumento di intensità per mantenere costante la percezione dell'intensità. Così, dopo un picco negativo, avviene anche con l'aumentare della frequenza.

fig. 5

Il son rappresenta l'unità di misura della sonia, dell'intensità soggettiva di un suono. Un son rappresenta per convenzione un suono di 1000 Hz con intensità di 40 decibel. La scala dei son fu ottenuta per ottenere valori migliori rispetto a quella di phon a cui si riferisce. 

fig. 6

Con mascheramento si definisce di disturbo prodotto da altri suoni all'ascolto di un suono.

La variazione dell'intensità di un suono varia la percezione dell'altezza. 

La percezione della variazione di altezza non è uniforme per tutte le frequenze, è alta per le frequenze alte e meno alta per quelle basse.

La scala dei mel (melodica) indica la relazione tra la frequenza e la percezione sonora. Al raddoppio del numero dei mel corrisponde il raddoppio della percezione di altezza che non corrisponde al raddoppio della frequenza. La scala dei mel progredisce in progressione geometrica con ragione 2. 2 4 8 16 32 ... che corrisponde a 2 2² 2³...

DENOMINAZIONE NOTE

CENT

Unità di misura degli intervalli musicali a base logaritmica ideato da Alessandro Ellis. 1200 cents coprono l’ottava ed il semitono ne vale 100. Un intervallo apprezzabile all’orecchio è intorno a 6 cents.

Considerando che il rapporto di ottava è di 2/1 (Il rapporto matematico delle vibrazioni è di 2/1, cioè il numero di vibrazioni di un suono all’ottava è il doppio di quelle del suono base)

e che essa è suddivisa in 12 semitoni uguali, il valore del semitono sarà dato dalla (radice dodicesima di 2) √¹²2 = 1,05946=2^1/12 che darà il rapporto di un Do-Do#. 

Quindi il cent divide in cento parti l'intervallo Do-Do#.

La radice centesima del rapporto di semitono,√¹⁰⁰1,05946=1,00057776 darà il rapporto di cent. che rappresenta il rapporto fra due frequenze pari a 1 cent  e corrisponde alla radice milleduecentesima di 2, √¹²⁰⁰2, 2^(1/1200). Formule di conversione.  c= cents  r=rapporti di frequenza  f=frequenza

La suddivisione in cent dell'ottava forma una scala equalizzata di 1220 "note" il cui reciproco intervallo è di 1 cent.

Formula di Ellis c=log f . 1200/log 2

c = 3986,313714 log₁₀ R

r = 2 ^(C/1200)

Queste formule non le ho capite.

ARMONICI

Una corda oltre a produrre il suono fondamentale scinde le proprie vibrazioni in una serie di suoni detti armonici, le cui frequenze stanno alla frequenza del suono fondamentale come i numeri 1,2,3,4…n, stanno ad 1. Furono scoperti (o definiti) da J. Sauveur 1653-1716. Principi d'acustica e di musica...  

Indicazione degli armonici negli strumenti ad arco.

 Gli armonici naturali si notano con la nota naturale sormontata da un cerchio o per gli ottavati con il punto da sfiorare corrispondente sulla corda
 indicato con un rombo e la nota stessa.

Ripreso da Segugio:

http://groups.google.com/groups?hl=it&lr=&selm=rzaue.28362%24b5.1296196%40news3.tin.it&rnum=16

Gli armonici naturali di un suono sono tutti i multipli interi della sua
frequenza fondamentale.
Se prendi il primo tasto del pianoforte (LA che è a 27.5 Hz) e cominci a
calcolarti tutti gli armonici moltiplicando la frequenza base per 2, per 3,
per 4, per 5 e così via e poi confronti i risultati con le frequenze delle
note calcolate con il sistema del temperamento equabile (ogni nota ha la
frequenza di quella precedente moltiplicata per la "radice dodicesima di
2"... e l'ho scritto a parole perché altrimenti era un casino!!!), ottieni
la sequenza qui sotto

La0 (27,5 Hz) - Fondamentale (27,5 Hz)
La1 (55 Hz) - 1° armonico (55 Hz)
Mi2 (82,41 Hz) - 2° armonico (82,5 Hz)
La2 (110 Hz) - 3° armonico (110 Hz)
Do#3 (138,59 Hz) - 4° armonico (137,5 Hz)
Mi3 (164,81 Hz) - 5° armonico (165 Hz)
Sol3 (196 Hz) - 6° armonico (192,5 Hz)
La3 (220 Hz) - 7° armonico (220 Hz)
Si3 (246,94 Hz) - 8° armonico (247,5 Hz)
Do#4 (277,18 Hz) - 9° armonico (275 Hz)
Re4 (293,66 Hz) - 10° armonico (302,5 Hz)
Mi4 (329,63 Hz) - 11° armonico (330 Hz)
Fa4 (349,23 Hz) - 12° armonico (357,5 Hz)
Sol4 (392 Hz) - 13° armonico (385 Hz)
Sol#4 (415,3 Hz) - 14° armonico (412,5 Hz)
La4 (440 Hz) - 15° armonico (440 Hz)
La#4 (466,16 Hz) - 16° armonico (467,5 Hz)
Si4 (493,88 Hz) - 17° armonico (495 Hz)
Do5 (523,25 Hz) - 18° armonico (522,5 Hz)
Do#5 (554,37 Hz) - 19° armonico (550 Hz)
Re5 (587,33 Hz) - 20° armonico (577,5 Hz)
??? - 21° armonico (605 Hz)
Re#5 (622,25 Hz) - 22° armonico (632,5 Hz)
Mi5 (659,26 Hz) - 23° armonico (660 Hz)
Fa5 (698,46 Hz) - 24° armonico (687,5 Hz)
??? - 25° armonico (715 Hz)
Fa#5 (739,99 Hz) - 26° armonico (742,5 Hz)
??? - 27° armonico (770 Hz)
??? - 28° armonico (797,5 Hz)
Sol#5 (830,61 Hz) - 29° armonico (825 Hz)
??? - 30° armonico (852,5 Hz)

(questa sequenza è ottenuta confrontando le frequenze degli armonici con la
frequenza più vicina dei semitoni nella scala temperata).
Se fai attenzione alla sequenza, al 21° armonico cominciano i problemi a
causa del fatto che la sua frequenza è intermedia tra due semitoni temperati
ed esce quindi dalla scala temperata occidentale.
La cosa si ripete anche con il 25°, il 27°, il 28° e il 30° armonico.
Tutti questi armonici capitano su frequenze intermedie tra quelle dei
semitoni della scala temperata.
 

Armonici sugli strumenti a corda

Thread: armonici archi

http://groups.google.com/groups

 Ripreso da: Dosifeo

La corda sfiorata, a differenza della corda premuta sulla tastiera, si
comporta da risonatore, vale a dire che solo in alcuni punti emette dei
suoni bene udibili e corrispondenti a precise frequenze, mentre in tutti gli
altri, cioè in tutto il resto dello spettro, il suono viene emesso in modo
molto debole e la frequenza non è ben distinguibile.
Le frequenze corrispondenti a questi punti si chiamano frequenze di
risonanza e corrispondono proprio agli armonici. In tutte le altre frequenze,
l'impedenza contrapposta all'emissione del suono è altissima, non appena ci
si scosta di poco dai punti corrispondenti agli armonici, vale a dire alle
frequenze di risonanza. L'espressione "frequenze di risonanza" (tanto comune
nell'acustica) indica che il mezzo (in questo la corda), se sfiorato dal
dito, risuona solo in un range discreto di frequenze.
 

Ripreso da: Marino Lagomarsino

Ravel a volte realizza
graficamente i gliss. segnandoli inizialmente come cromatiche a
trentaduesimi seguite dopo poche note dalla linea di glissando (La valse),
oppure come cromatiche interamente scritte accompagnate dall'indicazione
"gliss." (Limoges - Quadri), e ciò quando richiede che il gliss. riempia
interamente lo spazio a disposizione (gli esecutori in genere interpretano
in modo più "espressivo" il gliss., come effetto di passaggio tra due suoni
bene definiti ed udibili).
L'unica sincronia possibile tra due esecutori è, nel caso del glissando,
data dalla coincidenza tra punto di partenza e punto di arrivo, quindi la
velocità di questo "moto pendolare" in genere non è un problema (posto che
i due estremi non siano troppo lontani); qualche problema potrebbero darlo
gli armonici, "naturali" (Uccello di fuoco) o "artificiali"? Nel secondo
caso potrebbe essere un po' più difficile controllare con chiarezza
l'effettiva estensione del gliss.

Un vero e proprio glissando di fatto è eseguibile solo con gli artificiali.
L'unica eccezione che mi veniva in mente era appunto quella dell'inizio
dell'Oiseau: l'effetto è quello di un velocissimo arpeggio di armonici
naturali, accentuato dalla "genialita" della scordatura prevista per alcune
sezioni di archi

Ripreso da: Er Lurk

Se si parla di un *effetto* di glissando (copertura continua di tutte le
frequenze dalla nota di partenza a quella d'arrivo) certamente sì.  Se si
parla del *gesto* dello scivolamento del dito sulla tastiera no, ci sono
esempi celeberrimi (così in battuta mi viene in mente il II tempo della
sonata per violoncello e piano di Shostacovich) in cui viene usato il
glissando di armonici naturali, che corrisponde, nel caso citato, ad una
triade arpeggiata (molto velocemente).

Ripreso da: CSDCS
 
Comunque, normalmente i glissandi (o meglio "portamenti": vedi
poco sotto) di armonici artificiali sono scritti esattamente come tu
hai detto: nota di partenza e nota d'arrivo. E in mezzo, volendo, uno
può indicare con una pausa o con una frazione (ad es. 2/8) quanto deve
durare il glissando (o meglio, portamento) stesso. Invece i glissandi
di armonici naturali sono scritti (in tutti gli esempi che io conosco)
indicando tutte le singole note che li compongono. E' noto infatti che
gli armonici naturali sono udibili solo premendo in punti specifici di
una corda. Nel glissando di armonici naturali tutte le note del
glissando vengono dunque scritte. Corrispondono in pratica a dei
velocissimi arpeggi scivolati. Sono chiamati così anche su libri
tecnici e manuali vari. Dunque dei glissandi su armonici naturali
vorrei sapere, per ogni strumento ad arco, la massima velocità
esecutiva (in quarti al minuto) , *ipotizzando* che le singole note
siano scritte in 16esimi.

Piccola nota tecnica, e con questa rispondo anche a Marino
Lagomarsino: in giro non c'è chiarezza sulla terminologia!;-)
Normalmente il glissando dovrebbe essere inteso come un'esecuzione
veloce e "scivolata" di un gruppo di note, mentre un passaggio
continuo da un'altezza ad un' altra, in cui neppure un microtono viene
scartato, si dovrebbe chiamare correttamente "portamento".  Dunque il
"glissando" di armonici artificiali, inteso come voi avete espresso,
dovrebbe più correttamente essere chiamato "portamento", mentre gli
armonici naturali fanno proprio un vero glissando;-)  E' però vero,
come detto, che non c'è chiarezza, e che oggi molti adoperano il
termine "glissando" al posto del più corretto "portamento".
 

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LA SCALA PITAGORICA, DEI RAPPORTI SEMPLICI, E TEMPERATA

SCALA PITAGORICA

La più antica forma di divisione dell’ottava è la scala pitagorica. Pitagora (isola di Samo 560, Metaponto 480 ca a.C. Metaponto è una frazione del comune di Bernalda in provincia di Matera in Basilicata. ) filosofo e matematico greco.

Pitagora, ed i successivi teorici, si avvalsero per i loro studi del monocordo, strumento formato da una corda tesa tra due ponticelli su di una tavola armonica, tra le due estremità era inserito un ponticello mobile che permetteva di variare la lunghezza della corda.

Sin dall’antichità le varie scale sono state ricavate, sia in oriente che in occidente, all’interno dell’intervallo di ottava. Questo intervallo potrebbe essere definito come la distanza tra due suoni omologhi di cui uno con frequenza doppia.

Valendosi del monocordo Pitagora stabilì vari rapporti di lunghezza tra suoni emessi e la lunghezza di una corda a parità di massa e di volume.

Dividendo la corda alla metà della sua lunghezza si ottiene l’ottava superiore con rapporto di lunghezza 1/2, dividendo la corda per i 2/3 (2 parti di 1/3) della sua lunghezza otteniamo la quinta.

Quindi l’ottava e la quinta hanno rapporti di lunghezza con un suono fondamentale rispettivamente di 1/2 e 2/3. Queste frazioni indicano i rapporti di lunghezza; dato che il rapporto di frequenza v/s (numero di vibrazioni al secondo) è inversamente proporzionale al rapporto di lunghezza, esso sarà dato dai rapporti 2/1 per l’ottava e 3/2 per la quinta. In altre parole una corda divisa per la sua metà 1/2 e per i suoi 2/3 darà note la cui frequenza sarà rispettivamente di 2/1 e 3/2 della frequenza fondamentale della nota data dall’intera lunghezza della corda.

La scala pitagorica è basata dai suoni ottenuti tramite la successione delle quinte. Dato un suono fondamentale Do la quinta ascendente SOL sarà data dal rapporto 3/2, la quinta successiva al SOL, RE sarà data dal rapporto, rispetto al suono fondamentale DO: 3/2 • 3/2 = 9/4, /2 per trasportare il suono all’ottava inferiore otteniamo 9/8. Procedendo di quinta in quinta otteniamo i suoni della scala con i rispettivi rapporti di frequenza.

Il totale cromatico è ottenuto nella successione di 5 dal Fab al Si#

Dato che nella successione delle quinte ascendenti partendo da Do, non incontriamo il FA, questa nota è ottenuta dalla divisione aritmetica del diapason il cui rapporto è 4/3.

Preso come base un suono di frequenza 1, i successivi staranno ad esso nei seguenti rapporti:

Continuando la successione otteniamo la scala cromatica ascendente con #.

Sempre partendo da Do la successione delle quinte discendenti darà le note alterate con i b.

Fab...-Do - ...- Si#

Il rapporto di frequenza tra due note si ottiene sottraendo (dividendo) il rapporto di frequenza della nota  precedente, per esempio se vogliamo trovare il rapporto tra RE e MI avremo (81/64)/(9/8)=9/8

 Rapporti tra le note della scala pitagorica

In questa scala i semitoni cromatici sono leggermente più alti di quelli diatonici, un do# sarà più alto di un reb:

     1,0534            1,0678

         do--------reb------------re     

      1,0678           1,0534       

   do----------do#---------re 

In ogni modo bisogna tener conto che per l'effetto del temperamento avviene il contrario.

Il semitono cromatico è chiamato ( gr. apotomé), forse composto da Apò (allontanamento, particella negativa) e tomé - tagliare dividere.
Rappresenta il semitono cromatico della scala greca e corrisponde a 2187/2048, 1,06787= 114 cent. Es. Do-Do#.
 

 Il semitono diatonico è chiamato limma (o leimma), secondo alcuni dal greco leìche - ein, lambire

Rappresenta il semitono diatonico della scala greca o pitagorica il cui rapporto è 256/243 che corrisponde a 1,05369 = 90 cent. Es Si-Do, Do-Reb.

FAb - DOb - SOLb - REb - LAb - MIb - SIb - FA - DO - SOL - RE- LA - MI - SI - FA# - DO# - SOL# - RE# - LA# - MI # - SI#

Esempio: la progressione discendente dei bemolle è individuata nella progressione dei medi aritmetici. FA 4/3, SIb 4/3·4/3 = 16/9.

La scala pitagorica, a differenza della scala zarliniana, che ha interessi teorici ma non ha trovato applicazione nella pratica musicale, è la scala su cui è fondata tutta la prassi musicale.  

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COMMA PITAGORICO

  Nel sistema pitagorico esistono varie differenze tra alcuni intervalli che vengono definite comma - taglio. Il comma pitagorico o ditonico propriamente detto consiste nel rapporto tra due note che dovrebbero essere omofone, ma che differiscono tra loro di un comma.

Partendo da DO e seguendo il circolo delle quinte ascendenti troviamo Si#: DO-SOL-RE-LA-MI-SI-Fa#-DO#-SOL#-RE#-LA#-M#I-SI#- , essendo tale nota 12 quinte ascendenti sopra la prima nota DO ed essendo il rapporto di quinta 3/2, il suo rapporto sarà (3/2)¹². Tale nota non corrisponde alla settima ottava dalla nota di partenza, essendo il rapporto di ottava 2/1, il suo rapporto sarà (2/1)⁷. Il rapporto tra questi due valori darà il comma pitagorico o ditonico: (3/2)¹²/(2/1)⁷ = (531441/4096 )/(128/1) = 531441/524288 = 1,0136,  24 cents, il medesimo comma rappresenta il rapporto tra semitono cromatico e diatonico 1,0678/1,0534=1,0136.

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SCALA DEI RAPPORTI SEMPLICI

Da Pitro Righini: L'acustica per il musicista.

Gli intervalli veramente significativi del sistema musicale pitagorico li incontriamo essenzialmente nella scala diatonica (...) dove si può riscontrare una spontanea gravitazione della nota risolvente sulla nota risolutiva (nell'esempio: Mi verso Fa e il Si verso Do), che soddisfa l'udito al livello musicale. Solamente un forte richiamo proveniente da una consistente struttura dell'armonia può temperare questa spontanea tendenza ad allargare un poco l'intervallo che precede la risoluzione.

A questo punto è evidente che si delinea un certo contrasto tra le esigenze della melodia e quelle dell'armonia. Le consonanze greche erano infatti ridotte ai soli rapporti di ottava, di quinta e di quarta, che ritroviamo nelle stesse proporzioni nella scala zarliniana. Gli intervalli di terza e sesta erano considerate dissonanti e in effetti lo erano veramente, poiché la progressione delle quinte (base del sistema greco) comporta un graduale continuo allargamento degli intervalli, che già il terzo termine (Do - Sol, Sol - Re, Re - La) fa ritrovare una eccedenza di ben 22 cent rispetto alla stessa nota La della scala naturale. Infatti la progressione greca (3/2∙3/2∙3/2)  produce 27/16 contro 5/3 che è il rapporto del medesimo intervallo (Do - La) nella scala naturale (27/16:5/3 = 81/80; in cent 906-884=22.)

(...)

Uno scarto della stessa grandezza rispetto alla giustezza dell'armonia è presente in tutti gli intervalli di terza e sesta della scala greca.   

La scala greca ha avuto vita bimillenaria ed è caduta a poco a poco in disuso col progredire della polifonia, il cui sviluppo trovava un freno nelle durezze d'armonia che la scala stessa inevitabilmente comportava. (...) Ma è soprattutto a Zarlino che si deve la definizione precisa e il successo della scala naturale. La teoria di questa scala fondata sulle consonanze perfette e sui rapporti che la distinguono, trovò successiva conferma scientifica quando G. Sauver nel 1701 pose in termini fisici la teoria dei suoni armonici da lui sperimentalmente accertati.

Arisatossemo IV sec a.c. e  Didimo I sec. d.c. erano conosciuti i rapporti semplici che identificano l'accordo maggiore. La quinta individuata col medio armonico diapente individuata dal rapporto 3/2 e la quarta, medio aritmetico individuata dal rapporto 4/3.

La quinta individuata sulla nota generatrice del diapason Do, quella sul medio armonico Sol, e quella sul medio aritmetico Fa

Do-Sol

Sol-Re

Fa-Do

 possono essere a loro volta suddivise armonicamente nel ditono e semidito, terza maggiore e minore individuate rispettivamente nei rapporti 5/4 e 6/5.

[-121-] [Zarlino, Le istitutioni harmoniche, 121; text: Diapason. Dupla. Diapente. Sesquialtera. Ditono. Semiditono. Diatessaron. 30, Sesquiquarta, 24, Sesquiquinta, 20, Sesquiterza, 15] [ZAR58IH2 17GF]

Do-Mi.Sol

Sol-Si-Re

Fa-La-Do

Come si vede abbiamo già individuato tutti i gradi diatonici della scala.

E' con Zarlino che se ne ha la precisa definizione.

La prima forma di divisione del diapason è rappresentata dal medio armonico.

Zarlino Gioseffo Le istitutioni harmoniche Parte 1 (1558)

LA DIVISIONE, ouero Proportionalità harmonica si fa, quando tra i termini di alcuna proportione si hà collocato vn Diuisore in tal maniera, che oltra le conditioni toccate nel capitolo 35. tra i termini maggiori si ritrouino le proportioni maggiori, et tra li minori le minori: propietà che solamente si ritroua in questa proportionalità; la quale è detta propiamente Mediocrità: imperoche ne i suoni, la chorda mezana di tre chorde tirate sotto la ragione delli suoi termini, partorisce con le sue estreme chorde quel soaue concento, detto Harmonia.

  Come si vede dalla figura sopra ed in basso, il medio armonico (cadenza armonica o autentica)  che divide l'ottava è rappresentato dalla diapente (attraverso la quinta) e la diatessaron (attraverso la quarta) definiti dalla proporzione numerica 6-4-3. Cioè la diapente dalla proporzione numerica 6-4, sequialtera (le metà [2] in più dell'altra [4][cioè 6]); e la diatessaron dalla proporzione numerica 4-3, sesquiterza (le metà [sempre riferito al rapporto3-2, cioè 1] in più dell'altra [3][cioè 4]).

SESQUI

Primo elemento che in parole composte indica un rapporto di 3 a 2. Letteralmente e (que) metà (semis) sottinteso in più. E metà in più. In modo estensivo viene ad indicare una proporzione di una unità in più, 4-3 sesquiterza, diatessaron, quarta.

Quindi la cadenza autentica è rappresentata dal salto di 4 ascendente, diatessaron o di 5 discendente, diapente della dominante V grado.

La triade sul V grado  determina, dato anche l'apposto della sensibile tonale ascendente, in modo chiaro la tonalità,  amplificandola con la settima l'affermazione tonale è ancor maggiore per l'apporto della sensibile modale discendente.

La formazione della scala maggiore per divisione armonica. Zarlino Gioseffo Le istitutioni harmoniche Parte 2 (1558)

Come si può vedere il diapason Do-Do (ottava) è suddiviso armonicamente nella sua diapente Do-Sol (quinta) e nel suo diatessaron Sol-Do (quarta).

La diapente a sua volta è suddivisa armonicamente nel ditono (terza maggiore) e nel suo semiditono (terza minore)

text: Diapason. Dupla. Diapente. Sesquialtera. Ditono. Semiditono. Diatessaron. 30, Sesquiquarta, 24, Sesquiquinta, 20, Sesquiterza, 15]

text: DIAPASON, Diuisione harmonica della Diapason nelle sue parti. Diapente. Diatessaron. Ditono. Semiditono. Tuono maggiore, Tuono minore, Semituono maggiore, 180, Sesquiottava, 160, Sesquinona, 144, Sesquiquindecima, 135, 120, 108, 96, 90, Tetrachordo Diatonico sintono di Tolomeo

Antiqua. Rubrica Musicologica

Si può dedurre che gli intervalli consonanti nella teoria Zarliniana derivino dal senario.

[Zarlino, Le istitutioni harmoniche, 25; text: Numeri, Sonori, ouero, Harmonici. Diapason, Diapason con il ditono, Diapason diapente, Disdiapasondiapente, Disdiapason con il Ditono. Disdiapason. Diapente. 1, 2, 3, 4, 5, 6, Semiditono. Ditono. Diapason con il ditono. Essachordo maggiore.] [ZAR58IH1 03GF]
 

[Zarlino, Le istitutioni harmoniche, 26; text: NVMERI, SONORI, 1, Diapason. 2, Diapente. 3, Diatessaron. 4, Ditono. 5, Semiditono. 6, 8, Tuono maggiore. 9, Tuono minore. 10, 12, 15, Semituono maggiore. 16, 18, 20, 24, Semituono minore. 25, 30, 36] [ZAR58IH1 03GF]
 

Nonostante non si debba confondere la teoria zarliniana con i rappoti relativi ad i suoni armonici, possiamo vedere come coincidano quelli che formano l'accordo perfetto maggiore.

La scala dei rapporti semplici e di Zarlino, si basa sulle seguenti relazioni:  

   Le note di questa scala sono ottenute secondo la seguente progressione aritmetica di rapporti semplici 1(fondamentale) 2/1,3/2,4/3,5/4,6/5 e da interpolazioni tra loro. Stabilito come valore 1 la lunghezza della corda della nota fondamentale, l’ottava sarà data dalla metà 1/2 della sua lunghezza, la quinta da 1/3, la terza da 1/5, trasportando tali note all’ottava relativa otteniamo i valori 2/3 quinta, 4/5 terza, ricordando che il rapporto di frequenza è l’inverso di quello di lunghezza, otteniamo i valori della tabella precedente. Gli intervalli mancanti vengono ottenuti con delle interpolazioni.

E sempre ricordando:

Antiqua. Rubrica Musicologica

L'impostazione teorica zarliniana, per la verità, vede gli intervalli non tanto come somma di altri intervalli, ma come ottenuti per divisione armonica di intervalli più grandi. Ad esempio, dall'ottava per divisione armonica si ottengono la quinta più la quarta, mentre dalla quinta per divisione armonica si ottengono la terza maggiore più la terza minore;

possiamo rilevare che:

Ottava = 2/1;

Sesquialtera o Quinta giusta = 3/2 (suono armonico naturale portato vicino al fondamentale);

Sesquiterza o Quarta giusta = 4/3 (ottava - quinta = 2/(3/2);

Sesquiquarta o Terza maggiore = 5/4 (rapporto semplice trasportato di due ottave);

Sesquiquinta o Terza minore = 6/5 (quinta - terza maggiore = (3/2)/(5/4);

Seconda = (quinta - quarta = 9/8);

Super 2 parz. terza o Sesta maggiore = (quarta + terza maggiore = 5/3) (Ottava - terza minore);

Settima  = (quinta + terza maggiore = 15/8);

Semitono cromatico =  (tono minore - semitono diatonico = (10/9)/(16/15) =  25/24);

Sesquiottava o Tono maggiore = 9/8 (quinta - quarta = (3/2)/(4/3);

Sesquinona o Tono minore = 10/9 (terza - seconda = (5/4)/(9/8).

Il rapporto di frequenza tra ciascuna nota e la precedente sarà:  

In questa scala troviamo due intervalli di tono diversi, 9/8 detto tono grande e 10/9 detto tono piccolo la differenza di altezza tra tono grande e tono piccolo 9/8 : 10/9 = 81/80, corrispondente a 22 cent, comma  sintonico o di Didimo.

La scala pitagorica e dei rapporti semplici a confronto:

Le alterazioni cromatiche della scala naturale, sia per i diesis che per i benolle, si ottengono dal rapporto che intercorre tra la terza maggiore e la terza minore:

Do-Mi e Mi-Sol, 5/4:6/5 = 25/24, 70 cent

Per  esempio: Re# corrisponde al rapporto 9/8 del RE moltiplicato il rapporto di semitono 25/24 =  75/64, mentre il rapporto del semitono diatonico non alterato MI -FA e SI - DO è di 16/15.

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COMMA SINTONICO O DI DIDIMO

Il comma sintonico si trova confrontando la scala naturale zarliniana con quella pitagorica. Notiamo che tra i MI, LA e SI una piccola differenza, il loro rapporto: 81/64:5/4 = 81/80; 27/16:5/3 = 81/80;  243/128:15/8 = 81/80; rappresenta il comma sintonico o di Didimo.

Questo comma è ottenuto anche dal rapporto tra tono grande e tono piccolo della scala dei rapporti semplici.

In questa scala troviamo due intervalli di tono diversi, 9/8 detto tono grande e 10/9 detto tono piccolo la differenza di altezza tra tono grande e tono piccolo 9/8 : 10/9 = 81/80, corrispondente a 22 cent, comma  sintonico o di Didimo.

Il rapporto tra il comma pitagorico e quello sintonico produce lo schisma: [(3/2)¹²/(2/1)⁷] / [(3/2)⁴/(2/1)²/(5/4)] = 32805/32768  

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 SCALA TEMPERATA

La scala temperata equabile prevede la divisione dell’ottava in dodici semitoni perfettamente uguali in essa il Do# e il Reb sono suoni omofoni. L’intervallo tra ciascuna nota e la precedente è dato dal rapporto ¹²√2,  rappresenta il rapporto delle frequenze di due note distanti un semitono che è costante (radice dodicesima di 2)

Se un suono ha frequenza f per raggiungere l’ottava occorre moltiplicare  f  per il rapporto ¹²√2^12.

In relazione alla scala  cromatica ogni nota ha la frequenza di quella precedente moltiplicata per ¹²√2 e di quella seguente divisa per ¹²√2. Se vogliamo alzare di un tono una nota la frequenza sarà data da f  •  ¹²√2 • ¹²√2. E così via.

Es. Il La3 corrisponde a 440 herz,Hz,  la frequenza del La#3 corrisponde a: 440•12√2 = 440•1,059463 = 446 Hz.

 la frequenza del Lab3 corrisponde a: 440/12√2 = 440/1,059463 = 415 Hz.

 Va precisato che i semitoni sono in progressione geometrica in ragione ¹²√2 - ¹²√2• ¹²√2 - ¹²√2•¹²√2 • ¹²√2, etc., e non aritmetica ¹²√2 - ¹²√2•2 - ¹²√2•3.

La lunghezza della corda è data dall'inverso della sua frequenza: ¹²√2¹² inverso 1/¹²√2¹²

Il temperamento mesotonico o del tono medio è un sistema di intonazione delle note utilizzato durante la fine del Rinascimento e nel periodo del Barocco,si correggono (abbassando leggermente) le quinte. .
 
Nella forma più comune (ma esistono anche altri temperamenti mesotonici)  si abbassa di un quarto di comma la quinta.

Con il La 415 herz Hz si ha un'accordatura un semitono sotto rispetto a 440 herz Hz

  Schema dei rapporti di frequenza tra le varie scale ed i suoni armonici partendo da una nota base di frequenza 1.

TABELLA COMPARATIVA

Tabella comparativa. I colori verde e blu indicano rispettivamente valori maggiori e minori rispetto alla scala temperata. 

Legenda SOL: S. T. E.

                 SOL: S.R.S.

             sol:    S.P.

         III:    A.

nota: alcuni dati non sono stati verificati, sono gradite correzioni e critiche.

FORMULE

Definizione di logaritmo: 

log. di un numero reale positivo b è l'esponente x cui bisogna elevare un numero dato a (base) per ottenere b. In simboli x=log_ab, nei calcoli si usa a=10.  

Intensità

L'ampiezza dell'onda, v. fig. 3, è determinata dall'intensità del suono che si misura in decibel db.

Il decibel db rappresenta la decima parte del Bel B, dal nome dello scienziato statunitense A. G. Bell 1847-1922.

Il Bell B si riferisce non ad una unità di misura assoluta bensì relativa, che esprime il rapporto tra  la potenza del suono P e P₀  potenza di riferimento,  dove P rappresenta la potenza del suono e  P₀ rappresenta convenzionalmente la pressione acustica necessaria per raggiungere la soglia di udibilità per la frequenza di 1000 Hz. Il valore di Bell 0 indica la soglia di udibilità.

B si definisce come il logaritmo in base 10 del rapporto tra P e P₀ .

La progressione dei decibel è quindi logaritmica 10 100 1000 ... e non aritmetica 1 2 3 ... , quindi se consideriamo due suoni rispettivamente di 1 e 2 decibel  il loro rapporto sarà 10/100 e non 1/2.

La frequenza viene espressa con la seguente formula:

f=v/l

dove f è la frequenza,  v é la velocità di propagazione del suono al secondo e lambda l la lunghezza d'onda,

Considerando v=340m/s la lunghezza d'onda del diapason di 440 hz sarà:

l=v/f

l=340/440

l=0,772

Il periodo, lunghezza d'onda, e la frequenza sono inversamente proporzionali: f = 1/l, cioè la lunghezza d'onda l è l’inverso della frequenza f, maggiore è il lunghezza d'onda minore sarà la frequenza e viceversa. es. l =  1/2 secondo, f = 2l  /secondo. 

Con il La 415 herz Hz si ha un'accordatura un semitono sotto rispetto a 440 herz Hz

L'uomo percepisce suoni che vanno da 16 a 18000 Hz, sotto i 16 si parla di infrasuoni e sopra i 18000 di ultrasuoni. Il pianoforte ha un'estensione che va da Do0 32,7 Hz al Do7 4186 Hz.

Proprietà delle potenze

http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica)

In matematica la potenza è un' operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti rispettivamente base ed esponente - il numero dato dalla moltiplicazione di a per sé stesso iterata per n volte:

aⁿ = a•a•a•...a (n volte)

in questo contesto a può essere un numero intero, razionale o reale mentre n è un numero intero positivo.

esempi:

3² = 3•3 = 9

(1/2)³ = 1/2•1/2•1/2 = 1/8

L'operazione si estende ad n = 0 ponendo per ogni a ≠ 0

a⁰  = 1

e ad n negativi ponendo

a^-k  = 1/a^k

Proprietà

Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti sono numeri interi positivi:

Il prodotto di due potenze aventi la stessa base, è una potenza avente per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

aⁿ+a^m = a^n+m

Il quoziente di potenze aventi la stessa base è una potenza avente la stessa base dei fattori e come esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e l'esponente del divisore

aⁿ/a^m =  a^n-m

La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l'esponente è dato dal prodotto degli esponenti:

(aⁿ)^m = a^n•m

Il prodotto di potenze con lo stesso esponente é una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:

aⁿ•bⁿ = (a•b)ⁿ

Il quoziente di potenze con lo stesso esponente é una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:

aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ

Qualsiasi potenza con esponente 1 è la base.

b¹ = b

La potenza : 0⁰ è priva di significato!

Notiamo che la definizione a⁰ = 1 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:

aⁿ/a^m =  a^n-m = a⁰  = 1

E lo stesso vale per la definizione di a ^{− k}, infatti:

a^-x  =  a^0-x = a⁰/a^x = 1/a^x

Radici ed esponenti frazionari

Dato un numero a positivo si chiama radice n-esima di a quel numero positivo b tale che bⁿ = a, tale numero si indica con

√ⁿ a

Da questa definizione si ha subito che

(ⁿ√ a)ⁿ = a

quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre

a^1/n = ⁿ√ a

in questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti

(a^1/n)ⁿ = a^1/n•n = a¹ = a

come avveniva per la radice n-esima.

Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente consentendo all'esponente di essere un numero razionale x/y se si pone:

a^x/y = ^y√a^x

Rapporto tra decimali e comma

C = comma sintonico = d 1,01250, = c 21,50.

logC = 0,0053950318

log. di un numero reale positivo b è l'esponente x cui bisogna elevare un numero dato a (base) per ottenere b. In simboli x=log_ab, nei calcoli si usa

a = 10.  

Cd = comma pitagorico o ditonico = d 1,0133364, = c 23,45

d = decimali4

n/n' = frazione di comma, 1/1, 1/2, ... etc.

c = C•n/n'

oppure

c = Cd•n/n'

es. per un valore di 2/43 di comma sintonico c = 21,50 • 2/43, c = 1.

Rapporto tra decimali e comma

es. volendo calcolare il valore decimale del comma sintonico, n/n' = 1, avremo:

d = 10 ^logC•n/n',  d = 10^{0,0053950318•1/1}, d =  1,01250

Intervalli

Da un punto di vista matematico l'intervallo rappresenta la differenza di altezza tra due grandezze rappresentanti due note.

Sappiamo che l'intervallo di ottava rappresenta due suoni di cui il secondo è strutturalmente uguale al primo ma con frequenza doppia rispetto al secondo. Se il primo suono ha frequenza 1 la sua ottava avrà frequenza 2 e l'ottava successiva avrà frequenza 4. Se volessimo trovare l'intervalla tra la seconda ottava e la prima dovremmo sottrarre al rapporto 4/1  il rapporto 2/1

Si nota come il doppio di una frequenza procede con una progressione geometrica

http://it.wikipedia.org/wiki/Progressione_geometrica

In matematica, una progressione geometrica o successione geometrica (detta tal volta, impropriamente, anche serie geometrica, vedi sotto) è una successione di numeri tali che il quoziente tra due elementi consecutivi è sempre uguale a un numero costante, detto ragione della successione.

2 - 4 - 8 potenze di due (2 - 2² - 2³) e non aritmetica

http://it.wikipedia.org/wiki/Progressione_aritmetica

In matematica, una progressione aritmetica è una successione di numeri tale che la differenza di due membri consecutivi qualsiasi è una costante. Tale differenza comune è detta ragione della progressione. Per esempio, la successione 3, 5, 7, 9, 11, ... è una progressione aritmetica di ragione 2.
Se il primo termine di una progressione aritmetica è a e la ragione è d, allora l'n-esimo termine della successione è dato da:
 

Primo termine della progressione 2, ragione 2, il secondo termine della progressione sarà:

2 - 4 - 6

Dato che sia nei rapporti di frequenza espressi in frazioni od in numeri decimali la somma e la sottrazione corrispondono alla moltiplicazione ed alla divisione dei rapporti avremo: (4/1)/(2/1 ) = 2 che corrisponde al valore della prima ottava.

Per esempio se all'intervallo di ottava 2/1 volessimo sottrarre o sommare l'intervallo di quinta espresso dalla frazione 3/2 avremo per la sottrazione:

(2/1)/(3/2) = 4/3 che rappresenta il valore di quarta e per la somma: (2/1)•(3/2) = 3 che rappresenta il valore della dodicesima (quinta all'ottava superiore). Espresso in decimali: 2•1,5 = 3

Il rivolto di un intervallo si ottiene così: es. nella scala zarliniana la terza maggiore Do-Mi è data dal rapporto 5/4, l'inverso di questo intervallo sarà 4/5 Do-Lab, portato all'ottava alta avremo 2•4/5 = 8/5

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TERMINOLOGIA  ANTICA

Questa tabella è stata ripresa da:

Antiqua

Le proporzioni, secondo la teoria antica che Zarlino fa propria, sono tutte classificabili all'interno dei seguenti 5 generi (tutte le variabili indicano interi positivi):

LICHANOS

second highest tetrachord note; (lychanos/lichanos)

SUPERPARTICOLARE

Intervallo espresso da frazioni in cui il numeratore supera di una unità il denominatore:

3/2 - sesquialtera - quinta

4/3 - sequiquarta - terza maggiore

5/4 - sesquiquarta - 5/4 - terza minore zarliniana

6/5 - sesquiquinta - 6/5 - terza maggiore zarliniana

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