INSIEMI EQUIPOTENTI E NUMERI CARDINALI ---> INDICE
Insiemi equipotenti - Definizione
Siano E ed F due insiemi.
L'insieme E si dice equipotente all'insieme F, e si scrive
E equip F,
se esiste una bigezione di E in F.
Proprietà
1)
E : E equip E
2) (E equip F)
(F equip E)
3) (E equip F)
(F equip G) (F equip G).
Classi di equipotenza - Definizione
Si consideri un insieme X.
Si chiama classe di equipotenza la totalità degl'insiemi equipotenti ad X, e si indica con
Cl(X).
Per definizione risulta quindi:
Z
Cl(X) 
X equip Z.
Se ora si considera un ulteriore insieme Y e la classe di equipotenza ad esso relativa, si possono presentare i seguenti due casi:
1) Cl(X) non ha elementi comuni con Cl(Y),
2) Cl(X) = Cl(Y).
Si dimostra soltanto il caso 2), cioè:
Cl(X)
Cl(Y),
Cl(Y) Cl(X).
Allo scopo, sia
ZCl(X) X equip Z,
ZCl(Y) Y equip Z Z equip Y,
per la proprietà 2).
Inoltre, per la proprietà 3) da
X equip Z Z equip Y X equip Y YCl(X),
e siccome per la proprietà 1)
Y equip Y YCl(Y),
si ha
Cl(X) Cl(Y).
Viceversa, risultando per la proprietà 2)
X equip Y Y equip X XCl(Y).
Inoltre, per la proprietà 1)
X equip X XCl(X),
quindi
Cl(Y) Cl(X).
In definitiva risulta
Cl(X) = Cl(Y).
Numero cardinale di una classe di equipotenza
E' bene osservare che il numero cardinale è uno degli elementi della classe di equipotenza, quindi, fissato un insieme X, si chiama numero cardinale di X il numero cardinale della Cl(X) e si indica con
card(X).
Condizione di equipotenza fra due insiemi
X equip Y
card(X) = card(Y).
Infatti,
X equip Y Cl(X) = Cl(Y) card(X) = card(Y).
Viceversa,
card(X)Cl(X) card(Y)Cl(Y) card(X) = card(Y) X equip Y.
Si osserva ora che:
-fra i numeri cardinali vi sono alcuni numeri speciali, i numeri interi finiti.
-secondo Cantor, un insieme si dice infinito se esiste un'applicazione di tale insieme in se stesso che sia ingettiva ma non surgettiva.
Numeri cardinali finiti e numeri interi naturali
Siano E ed F due insiemi.
L'insieme E si dice equipotente all'insieme F, e si scrive
E equip F,
se esiste una bigezione di E in F.
Proprietà
1)
E : E equip E2) (E equip F)
(F equip E)3) (E equip F)
(F equip G) (F equip G).Classi di equipotenza - Definizione
Si consideri un insieme X.
Si chiama classe di equipotenza la totalità degl'insiemi equipotenti ad X, e si indica con
Cl(X).
Per definizione risulta quindi:
Z
Cl(X) X equip Z.Se ora si considera un ulteriore insieme Y e la classe di equipotenza ad esso relativa, si possono presentare i seguenti due casi:
1) Cl(X) non ha elementi comuni con Cl(Y),
2) Cl(X) = Cl(Y).
Si dimostra soltanto il caso 2), cioè:
Cl(X)
Cl(Y),Cl(Y)
Cl(X).Allo scopo, sia
Z
Cl(X) X equip Z,Z
Cl(Y) Y equip Z Z equip Y,per la proprietà 2).
Inoltre, per la proprietà 3) da
X equip Z
Z equip Y X equip Y YCl(X),e siccome per la proprietà 1)
Y equip Y
YCl(Y),si ha
Cl(X)
Cl(Y).Viceversa, risultando per la proprietà 2)
X equip Y
Y equip X XCl(Y).Inoltre, per la proprietà 1)
X equip X
XCl(X),quindi
Cl(Y)
Cl(X).In definitiva risulta
Cl(X) = Cl(Y).
Numero cardinale di una classe di equipotenza
E' bene osservare che il numero cardinale è uno degli elementi della classe di equipotenza, quindi, fissato un insieme X, si chiama numero cardinale di X il numero cardinale della Cl(X) e si indica con
card(X).
Condizione di equipotenza fra due insiemi
Condizione necessaria e sufficiente affinchè due insiemi siano equipotenti è che siano uguali i loro numeri cardinali.
In altri termini, si dimostra che:
X equip Y
card(X) = card(Y).Infatti,
X equip Y
Cl(X) = Cl(Y) card(X) = card(Y).Viceversa,
card(X)
Cl(X) card(Y)Cl(Y) card(X) = card(Y) X equip Y.Si osserva ora che:
-fra i numeri cardinali vi sono alcuni numeri speciali, i numeri interi finiti.
-secondo Cantor, un insieme si dice infinito se esiste un'applicazione di tale insieme in se stesso che sia ingettiva ma non surgettiva.
Numeri cardinali finiti e numeri interi naturali
Si chiamano numeri cardinali finiti i numeri cardinali delle classi di equipotenza di insiemi finiti.