Si consideri inoltre la successione finita
se
A tal punto si consideri una famiglia finita di elementi di un insieme (E, ≤), cioè:
In
generale, non è detto che l'insieme dei suoi elementi abbia
estremo superiore o inferiore, ma quando ciò accade li si indica
con
sup(x1, x2, x3, ..., xn), inf(x1, x2, x3, ..., xn).
Nel
caso in cui E sia totalmente ordinato, si ha che l'estremo superiore e
l'estremo inferiore coincidono con il più grande e con il
più piccolo elemento.
Nel caso in cui si considera la famiglia
cosa si può dire del più grande e del
più piccolo elemento, e quindi dell'estremo superiore e
dell'estremo inferiore?
Allo scopo, si dimostra il seguente teorema delle parti finite di un insieme.
Sia A una parte finita e non vuota dell'insieme E, dotato della relazione di total ordine; si dimostra che A ha il più piccolo ed il più grande elemento.
Infatti, indicato con n il numero cardinale degli elementi di A, cioè
n = card(A),
per induzione completa si dimostra che A ha il più piccolo ed il più grande elemento.
Chiaramente:
-se n = 1, A ha il più piccolo ed il più grande elemento costituito dall'unico elemento 1;
-se n ≥ 1, A ha il più piccolo ed il più grande elemento.
Si dimostra che, considerata un'altra parte finita di E,
tale che sia n + 1 il numero cardinale dei suoi elementi, cioè
n + 1 = card(B),
anch'essa ha il più grande elemento.
Si consideri bB e sia
Siccome A ha n elementi, A ha il più grande elemento indicato con a.
Si
osserva ora che a e b appartendono entrambi a B e quindi ad E; inoltre,
siccome E è un insieme totalmente ordinato, a e b costituiscono
una coppia non ordinata
Tale insieme ha il più grande elemento indicato con m ed anche il più grande elemento di B.
Infatti, considerato un ulteriore elemento xB, si considerano due casi: