RELAZIONI D'ORDINE ---> INDICE
Considerato
un insieme E, si chiama relazione d'ordine sull'insieme E ogni
relazione R su E, cioè
che verifica i seguenti due assiomi di relazione d'ordine:
RO-1) (x, y)
R 
(y, z)R 
(x, z)R,
RO-2) (x, y)R (y, x)R 
x = y.
Si può considerare anche la relazione d'ordine opposta: se R è una relazione d'ordine sull'insieme E, e si considera
risulta
inoltre S è una relazione d'ordine chiamata opposta di R.
Per dimostrare che S è una relazione d'ordine, S deve verificare i due assiomi di relazione d'ordine:
RO-1) (x, y)S (y, z)S (y, x)R (z, y)R (z, x)R (x, z)S,
RO-2) (x, y)S (y, x)S (y, x)R (x, y)R x = y.
Nota bene
Si osserva ora che:
1)-al posto della relazione d'ordine R sull'insieme E si usa frequentemente il simbolo ≤, quindi gli assiomi suddetti si possono riformulare come segue
RO-1) (x ≤ y) (y ≤ z) x ≤ z,
RO-2) (x ≤ y) (y ≤ x) x = y.
2)-La coppia ordinata (E, ≤) si chiama insieme ordinato; la prima coordinata è l'insieme E, mentre la seconda è una relazione d'ordine.
3)-Considerato l'insieme ordinato (E, ≤), si dice che ≤ è una relazione di totale ordine su E se e solo se, quali che siano x ed y elementi di E, risulta (x ≤ y) v (y ≤ x), cioè x ed y sono paragonabili per ≤.
4)-La coppia ordinata (E, ≤) si chiama insieme totalmente ordinato se la relazione d'ordine assegnata sull'insieme E è una relazione di totale ordine.
5)-Se sull'insieme E è assegnata una relazione d'ordine ≤, considerati due elementi
xE, yE, x ≤ y, x ≠ y,
si dice che x è strettamente minore di y e si scrive x < y.
6)-Quando è y ≤ x, si può anche scrivere x ≥ y; una relazione d'ordine così definita si chiama relazione d'ordine opposta a quella data.
7)-xE, yE, zE, (x ≤ y), (y < z) x < z.
Infatti, dire che
x < z (x ≤ z) (x ≠ z)
e, supponendo per assurdo x = z, comporta che da un lato x ≤ y e dall'altro y < x; inoltre
y < x (y ≤ x), (y ≠ x).
Associando le due condizioni, per il secondo assioma, si ottiene x = y, e ciò è assurdo perchè è x = y, quindi x ≠ z, e di conseguenza x < z.
8)-(x < y) (y ≠ z) x < z.
Infatti, dire che
x < z (x ≤ z) (x ≠ z)
e, supponendo per assurdo x = z, comporta che da un lato z < y e dall'altro y ≤ z; inoltre
z < y (z ≤ y), (z ≠ y).
Associando le due condizioni, per il secondo assioma, si ottiene x = y, e ciò è assurdo perchè è x = y, quindi x ≠ z, e di conseguenza x < z.
8)-(x < y) (y < z) x < z.
9)-Spesso, invece di dire che x ≤ y, si dice che x è inferiore ad y, mentre se x < y, si dice che x è strettamente inferiore ad y.
Si suppone ora d'avere la relazione d'ordine R sull'insieme E e sia data una parte A, non vuota, dell'insieme E, cioè:
Essendo
si può considerare
che prende il nome di relazione indotta da R su A; si dimostra che RA è una relazione d'ordine su A, cioè deve verificare i due assiomi:
RO-1)
xA yA zA : xRAy, yRAz xRAz,
RO-2)xA yA : xRAy, yRAx x = y.
Dimostrazione RO-1).
xA yA zA : xRAy, yRAz (x, y)RA, (y, z)RA
(x, y)R (y, z)R (x, y)A X A (y, z)A X A (x, z)R (x, z)A X A
(x, z)RA xRAz.
Dimostrazione RO-2).
xA yA : xRAy, yRAx (x, y)RA, (y, x)RA (x, y)R (y, x)R
(x, y)A X A (y, x)A X A x = y.
Quando si assume ≤ come relazione d'ordine, la relazione d'ordine indotta su A, parte di E, si denota con ≤A, cioè:
(x, y)≤, (x, y)A X A x ≤A y.
Si dice che
è una parte ordinata dell'insieme E, se e solo se gode anch'essa della relazione d'ordine su E, vale a dire:
xA yA : x ≤A y x ≤ y.
Se poi ≤ è una relazione di totale ordine su E, allora la relazione indotta su una parte
è anch'essa una relazione di totale ordine.
Allo scopo, basta dimostrare che due elementi qualsiasi x ed y, appartenenti ad A, sono paragonabili per ≤A.
Infatti x ed y, essendo elementi di A, risultano anche elementi di E, e quindi sono paragonabili per la relazione d'ordine ≤ ovunque definita su E, per cui essi risultano paragonabili anche per ≤A.
In generale, se (E, ≤) non è totalmente ordinato, ogni sua parte A non è totalmente ordinata; se (E, ≤) è totalmente ordinato, ogni sua parte A è totalmente ordinata.
Comunque, non è escluso che, su un'opportuna parte A, ci sia una relazione di totale ordine indotta dalla relazione ≤ che non è di totale ordine.
che verifica i seguenti due assiomi di relazione d'ordine:
RO-1) (x, y)
R (y, z)R (x, z)R,RO-2) (x, y)
R (y, x)R x = y.Si può considerare anche la relazione d'ordine opposta: se R è una relazione d'ordine sull'insieme E, e si considera
risulta
inoltre S è una relazione d'ordine chiamata opposta di R.
Per dimostrare che S è una relazione d'ordine, S deve verificare i due assiomi di relazione d'ordine:
RO-1) (x, y)
S (y, z)S (y, x)R (z, y)R (z, x)R (x, z)S,RO-2) (x, y)
S (y, x)S (y, x)R (x, y)R x = y.Nota bene
Si osserva ora che:
1)-al posto della relazione d'ordine R sull'insieme E si usa frequentemente il simbolo ≤, quindi gli assiomi suddetti si possono riformulare come segue
RO-1) (x ≤ y)
(y ≤ z) x ≤ z,RO-2) (x ≤ y)
(y ≤ x) x = y.2)-La coppia ordinata (E, ≤) si chiama insieme ordinato; la prima coordinata è l'insieme E, mentre la seconda è una relazione d'ordine.
3)-Considerato l'insieme ordinato (E, ≤), si dice che ≤ è una relazione di totale ordine su E se e solo se, quali che siano x ed y elementi di E, risulta (x ≤ y) v (y ≤ x), cioè x ed y sono paragonabili per ≤.
4)-La coppia ordinata (E, ≤) si chiama insieme totalmente ordinato se la relazione d'ordine assegnata sull'insieme E è una relazione di totale ordine.
5)-Se sull'insieme E è assegnata una relazione d'ordine ≤, considerati due elementi
x
E, yE, x ≤ y, x ≠ y,si dice che x è strettamente minore di y e si scrive x < y.
6)-Quando è y ≤ x, si può anche scrivere x ≥ y; una relazione d'ordine così definita si chiama relazione d'ordine opposta a quella data.
7)-x
E, yE, zE, (x ≤ y), (y < z) x < z.Infatti, dire che
x < z
(x ≤ z) (x ≠ z)e, supponendo per assurdo x = z, comporta che da un lato x ≤ y e dall'altro y < x; inoltre
y < x
(y ≤ x), (y ≠ x).Associando le due condizioni, per il secondo assioma, si ottiene x = y, e ciò è assurdo perchè è x = y, quindi x ≠ z, e di conseguenza x < z.
8)-(x < y)
(y ≠ z) x < z.Infatti, dire che
x < z
(x ≤ z) (x ≠ z)e, supponendo per assurdo x = z, comporta che da un lato z < y e dall'altro y ≤ z; inoltre
z < y
(z ≤ y), (z ≠ y).Associando le due condizioni, per il secondo assioma, si ottiene x = y, e ciò è assurdo perchè è x = y, quindi x ≠ z, e di conseguenza x < z.
8)-(x < y)
(y < z) x < z.9)-Spesso, invece di dire che x ≤ y, si dice che x è inferiore ad y, mentre se x < y, si dice che x è strettamente inferiore ad y.
Si suppone ora d'avere la relazione d'ordine R sull'insieme E e sia data una parte A, non vuota, dell'insieme E, cioè:
Essendo
si può considerare
che prende il nome di relazione indotta da R su A; si dimostra che RA è una relazione d'ordine su A, cioè deve verificare i due assiomi:
RO-1)
xA yA zA : xRAy, yRAz xRAz,RO-2)
xA yA : xRAy, yRAx x = y. Dimostrazione RO-1).
xA yA zA : xRAy, yRAz (x, y)RA, (y, z)RA (x, y)R (y, z)R (x, y)A X A (y, z)A X A (x, z)R (x, z)A X A (x, z)RA xRAz.Dimostrazione RO-2).
xA yA : xRAy, yRAx (x, y)RA, (y, x)RA (x, y)R (y, x)R (x, y)A X A (y, x)A X A x = y. Quando si assume ≤ come relazione d'ordine, la relazione d'ordine indotta su A, parte di E, si denota con ≤A, cioè:
(x, y)
≤, (x, y)A X A x ≤A y.Si dice che
è una parte ordinata dell'insieme E, se e solo se gode anch'essa della relazione d'ordine su E, vale a dire:
xA yA : x ≤A y x ≤ y.Se poi ≤ è una relazione di totale ordine su E, allora la relazione indotta su una parte
è anch'essa una relazione di totale ordine.
Allo scopo, basta dimostrare che due elementi qualsiasi x ed y, appartenenti ad A, sono paragonabili per ≤A.
Infatti x ed y, essendo elementi di A, risultano anche elementi di E, e quindi sono paragonabili per la relazione d'ordine ≤ ovunque definita su E, per cui essi risultano paragonabili anche per ≤A.
In generale, se (E, ≤) non è totalmente ordinato, ogni sua parte A non è totalmente ordinata; se (E, ≤) è totalmente ordinato, ogni sua parte A è totalmente ordinata.
Comunque, non è escluso che, su un'opportuna parte A, ci sia una relazione di totale ordine indotta dalla relazione ≤ che non è di totale ordine.