GRANDEZZE COSTANTI, VARIABILI E VARIABILI DIPENDENTI
Grandezza costante
Una grandezza si dice costante se non cambia di valore.
Ad esempio, la capacità di un dato recipiente, l'altezza di una torre.
Grandezza variabile
Una grandezza si dice variabile quando può assumere valori diversi.
Ad
esempio, la velocità con cui un automobile percorre l'autostrada
Torino-Milano è variabile, perchè vi saranno
rallentamenti, in alcuni tratti, dovuti alle frenate.
Grandezze variabili dipendentiDue grandezze si dicono variabili dipendenti quando al variare dell'una varia anche l'altra.
Ad
esempio, il costo di una merce varia al variare del suo peso,
perciò costo e peso sono variabili dipendenti, e così lo
sono anche la quantità di lavoro che si compie ed il tempo
impiegato per eseguirlo, l'area di un rettangolo di data base e la sua
altezza, ecc.
PROPORZIONALITA' DIRETTA E INVERSA
Grandezze direttamente proporzionali
Dal seguente esempio pratico si può osservare che se kg 2 di riso costano € 4, kg 4 costeranno €
8 e kg 1 costerà € 2, cioè diventando il doppio o la
metà il numero dei chilogrammi di merce acquistata, lo stesso
avviene per il costo relativo. Si dice in tal caso che le due grandezze
chilogrammo e riso sono direttamente proporzionali.
Due
grandezze si dicono direttamente proporzionali, se l'una varia al
variare dell'altra in modo che diventando la prima il doppio, il
triplo, ... , la metà, la terza parte, ecc., anche l'altra
diventa il doppio, il triplo, ... , la metà, la terza parte, ecc.
Proprietà dei valori di due grandezze direttamente proporzionali
Dal
seguente esempio pratico si può osservare che se un operaio
lavorando 2 ore guadagna € 6, lavorando 4 ore guadagnerà
€ 12 e lavorando 8 ore € 24.
E' evidente che le due
grandezze ore di lavoro e guadagno, sono direttamente proporzionali. Se
si scrivono in due colonne attigue i corrispondenti valori delle
grandezze considerate:
e
si calcola il rapporto di due qualsiasi valori della prima
grandezza, per esempio fra il primo e il terzo e quello dei
corrispondenti valori della seconda grandezza, risulta:
cioè
il rapporto di due qualsiasi valori della prima grandezza è
uguale a quello dei corrispondenti valori della seconda
grandezza, e quindi si può scrivere: 2:8=6:24. Perciò, si
ha la seguente proprietà:
Se due grandezze sono
direttamente proporzionali, due qualsiasi valori della prima ed i
corrispondenti della seconda, in tale ordine, formano una proporzione.
Grandezze inversamente proporzionali
Dal
seguente esempio pratico si può osservare che: se un rubinetto
versa l 40 di acqua al minuto riempie un serbatoio in 16 minuti, se invece versa l 80 di acqua al minuto lo riempie in 8 minuti e
se versa l 20 al minuto lo riempie in 32 minuti.
Le
due grandezze che figurano in questo problema, cioè litri di
acqua e tempo impiegato per riempire un serbatoio, sono tali che
diventando la prima il doppio, o la metà, la seconda diventa la
metà o il doppio. In tal caso le due grandezze si dicono inversamente proporzionali.
Cioè: due grandezze si dicono inversamente proporzionali, se l'una varia al variare dell'altra in modo che diventando la prima
il doppio, il triplo, ..., la metà, ecc., la seconda
diventa la metà, la terza parte, ..., il doppio, ecc.
Proprietà dei valori di due grandezze inversamente proporzionali
Dal
seguente esempio pratico si può osservare che se 20 operai
eseguono un lavoro in 4 giorni, 10 operai eseguiranno lo stesso lavoro
in 8 giorni, mentre 40 operai lo faranno in 3 giorni. Le due grandezze
numero di operai e numero di giorni occorrenti per compiere un
dato lavoro, sono perciò inversamente proporzionali.
Se
si scrivono in due colonne attigue i corrispondenti valori delle
grandezze considerate e si calcola il rapporto di due qualsiasi valori
della prima grandezza, per esempio fra il primo e il terzo e quello dei
corrispondenti valori della seconda grandezza:
si ha:
cioè il primo rapporto è l'inverso del secondo. Si può pertanto enunciare la seguente proprietà:
Se due grandezze sono inversamente proporzionali, il rapporto di due qualsiasi valori della prima è uguale al rapporto inverso dei
corrispondenti valori della seconda.
PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE
Si suppone di voler risolvere il seguente problema:
Se per acquistare m 5 di stoffa si è speso € 25, quanto si spenderà per acquistare m 7 della stessa stoffa?
Come
può osservarsi, le grandezze che figurano in questo problema
sono due: metri di stoffa e costo; della prima si conoscono i due
valori 5 e 7, della seconda solo il valore 25 e ci si propone
di calcolare il secondo. Problemi di tale tipo si chiamano problemi del tre semplice. Perciò: si dicono problemi
del tre semplice quelli in cui figurano due grandezze direttamente
proporzionali o inversamente proporzionali, e noti i valori
corrispondenti delle due grandezze, si vuole determinare il valore di
una di esse corrispondente ad un secondo dato valore dell'altra.
In
seguito, un problema si dirà del tre semplice diretto o del tre
semplice inverso, a seconda che le due grandezze che figurano sono
direttamente o inversamente proporzionali.
PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE DIRETTO
Questi tipi di problemi si possono risolvere in due modi diversi usando i seguenti metodi:
1)-riduzione all'unità,
2)-delle proporzioni.
Si vuole ora risolvere il seguente problema:
Un
operaio lavorando 5 ore al giorno ha guadagnato € 15, se avesse
lavorato 7 ore al giorno, quale sarebbe stato il suo guadagno?
Si
può osservare che le due grandezze che figurano nel problema
sono direttamente proporzionali, in quanto si può verificare che
se si raddoppiano le ore di lavoro, si raddoppia anche il guadagno.
Metodo di riduzione all'unità
Si
fa il seguente ragionamento: se l'operaio lavorando 5 ore al giorno
guadagna € 15, lavorando un'ora al giorno guadagnerà €
15:5=3, e lavorando 7 ore al giorno guadagnerà € 3X7=€
21.
Metodo delle proporzioni
Si indica con X il guadagno richiesto e si forma il prospetto dei valori delle due grandezze:
Poichè le due grandezze sono direttamente
proporzionali, il rapporto dei due valori della prima dev'essere uguale
al rapporto dei corrispondenti valori della seconda, pertanto si ha:
5:7=15:X, ossia:
Il guadagno richiesto è € 21. Il valore della X così trovato si può scrivere sotto la forma:
cioè uguale al prodotto del valore noto 15 della grandezza a cui appartiene l'incognita, per 7/5,
che è il rapporto inverso dei valori dell'altra grandezza. Si può quindi enunciare la seguente regola: Il
valore dell'incognita di un problema del tre semplice diretto è
uguale al prodotto del valore noto della grandezza a cui appartiene
l'incognita per il rapporto inverso dei valori dell'altra grandezza.
PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE INVERSO
Ci si propone ora di risolvere il seguente problema:
Se 12 operai hanno eseguito un lavoro in 14 giorni, quanti giorni avrebbero impiegato 8 operai per lo stesso lavoro?
Si può osservare che le due grandezze che
figurano nel problema sono inversamente proporzionali, in quanto si
può verificare che se si raddoppia il numero degli operai, si dimezza il tempo per effettuarlo.
Metodo di riduzione all'unità
Si fa il seguente ragionamento: se 12 operai eseguono un lavoro in giorni 14, un operaio lo eseguirà in giorni 14x12=168 e 8 operai lo eseguiranno in giorni 168:8=21.
Metodo delle proporzioni
Si indica con X il numero dei giorni richiesti e si forma il prospetto dei valori delle due grandezze:
Poichè
le due grandezze sono inversamente proporzionali, il rapporto dei due
valori della prima dev'essere uguale al rapporto inverso dei
corrispondenti valori della seconda, pertanto si ha:
12:78=X:14, ossia:
Occorrono quindi 21 giorni. Il valore della X così trovato si può scrivere sotto la forma:
cioè
uguale al prodotto del valore noto 14 della grandezza a cui appartiene
l'incognita, per 12/8, che è il rapporto diretto dei valori
dell'altra grandezza. Si può quindi enunciare la seguente
regola: il
valore dell'incognita di un problema del tre semplice inverso è uguale
al prodotto del valore noto della grandezza a cui appartiene
l'incognita per il rapporto diretto dei valori dell'altra grandezza.
Grandezze direttamente proporzionali ad alcune ed inversamente proporzionali ad altre grandezze.
Alcune
volte una grandezza può dipendere da due o più altre
grandezze. Per esempio, il numero delle ore occorrenti per costruire un
muro di una certa altezza e spessore, dipende dal numero degli operai
impiegati e dalla lunghezza del muro. Poichè raddoppiando il
numero degli operai, lasciando invariata la lunghezza del muro, le ore
occorrenti per eseguirlo diventano la metà, le due grandezze
numero degli operai e ore di lavoro sono inversamente proporzionali.
Inoltre se si raddoppia la lunghezza del muro, lasciando invariato il numero degli operai, il numero delle ore occorrenti per eseguirlo diventa il doppio: perciò le due grandezze lunghezza del muro e numero delle ore di lavoro, sono direttamente proporzionali. Quindi si può dire che nel problema in questione il numero delle ore di lavoro è direttamente proporzionale alla lunghezza del muro ed inversamente proporzionale numero degli operai impiegati. Precisamente: una grandezza che dipende da più altre grandezze è direttamente (o inversamente) proporzionale ad una di esse, quando risulta direttamente (o inversamente) proporzionale a questa mantenendo invariati i valori di tutte le rimanenti.
Problemi del tre composto
Si dicono problemi del tre composto tutti quelli in cui si ha una grandezza direttamente od inversamente proporzionale a più altre, o ad alcune direttamente ed ad altre inversamente
proporzionali, e dato il valore della prima, corrispondente al valore
di tutte le altre grandezze, si vuole determinare un secondo valore
della prima corrispondente a secondi dati valori delle altre.Ci si propone ora di risolvere il seguente problema:
Se
con kg 81 di lana si tessono 54 m di stoffa alta cm 80, quanti metri di
stoffa si otterranno con 135 Kg di lana se essa la si vuole alta cm 120?
Metodo delle proporzioni
Le
grandezze che figurano nel problema sono: kg di lana, altezza della
stoffa e metri di stoffa ottenuta. Si forma dapprima il seguente
prospetto:
si
fa poi variare la prima grandezza lasciando invariata la seconda,
cioè si risolve il seguente problema del tre semplice: Se
con kg 81 di lana si possono ottenere 54 m di stoffa alta cm 80, quanti
metri di stoffa di uguale altezza si otterranno con kg 135? Si forma
pertanto un nuovo prospetto:
da cui, trattandosi di un problema del tre semplice diretto, si ricava:
Si
considera poi costante la prima grandezza, cioè i chilogrammi di
lana, e variabile la seconda, cioè si risolve il nuovo problema
del tre semplice: se con kg di lana si tessono
di stoffa alta cm 80, quanti se ne otterranno con la stessa quantità se l'altezza diventa cm 120?
Perciò, si forma il seguente prospetto:
da cui, trattandosi di un problema del tre semplice inverso, si ricava:
Perciò,
un problema del tre composto si può risolvere riconducendolo a
due o più problemi del tre semplice diretto o inverso. Si
può osservare che nella formula (1), 54 è il valore noto
della grandezza a cui appartiene l'incognita, che 135/ 81 è
il rapporto inverso dei due valori della prima grandezza (che è
direttamente proporzionale a quella a cui appartiene l'incognita), e che
80/120 è
il rapporto diretto dei due valori della seconda grandezza (che
è inversamente proporzionale a quella che a cui appartiene
l'incognita). Quindi, per risolvere un problema del tre composto si
procede come segue:
Si forma il prospetto delle grandezze e si
confronta ciascuna di esse separatamente con quella contenente
l'incognita (considerando costanti tutte le altre) e ponendo al disopra
di esse rispettivamente la lettera d o la lettera i a seconda che siano
direttamente o inversamente proporzionali a quella, infine si applica
la seguente regola:
Il valore incognito della grandezza che
figura in un problema del tre composto è uguale al prodotto del
valore noto di tale grandezza, moltiplicato per i rapporti diretti
delle grandezze inversamente proporzionali e per i rapporti inversi delle grandezze direttamente proporzionali alla grandezza di cui si vuole trovare un nuovo valore.
Metodo di riduzione all'unità
Si risolve ora lo stesso problema col metodo di riduzione all'unità, ragionando come segue:
1)-se con kg 81 di lana si ottiene una stoffa alta cm 80 e lunga m 54,
2)-con kg 1 si otterrà una stoffa alta cm 80 e lunga
3)-e con kg 135 di lana si otterrà una stoffa alta cm 80 e lunga
4)-con kg 135 di lana si otterrà una stoffa alta cm 1 e lunga
pertanto il valore incognito, che si indica con X è espresso da:
Si vede ancora un esempio in modo che sia più chiara la regola pratica:
Per
pavimentare una strada lunga m 120 e larga m 11, sedici operai hanno
impiegato 165 ore. Quanto impiegheranno 12 operai per pavimentare una
strada lunga m 80 e larga m 15?
Si indica con X il numero delle ore richieste e si forma il seguente prospetto:
e si può osservare che le grandezze delle prime due
colonne sono direttamente proporzionali a quella che contiene
l'incognita, cioè la quarta, mentre la grandezza della terza
colonna è a questa inversamente proporzionale. Perciò si
può segnare una (d) sulle prime due colonne ed una (i)
sulla terza, e poi applicando la regola pratica si ha subito:
Quindi per costruire la seconda strada occorrono ore 200.