SUCCESSIONI CONVERGENTI ---> INDICE
Successioni
Si chiama successione di numeri reali, la famiglia di elementi di
avente 
come insieme degl'indici. Tale famiglia è definita e si indica come segue:
Successioni convergenti
Si chiama successione di numeri reali, la famiglia di elementi di
avente come insieme degl'indici. Tale famiglia è definita e si indica come segue: Successioni convergenti
Si
considerino
si dà la seguente definizione:
Si dice inoltre che l è il limite della successione.
Si osserva ora che:
-se una successione converge verso il limite l, essa converge solo verso di esso, cioè il limite di una successione è unico.
Pertanto, supponendo che la successione converga verso l' ed l'', si dimostra che
l' = l''.
Infatti, ragionando per assurdo, sia
l' ≠ l''
e, per una proprietà nota relativa agl'intorni,
Siccome la successione è convergente per ipotesi, in corrispondenza di
Se
Ma ciò è assurdo, poichè derivato dall'aver supposto l' ≠ l'', quindi si può concludere che
l' = l''.
In tema di notazioni e di terminologie, si fa presente che tale limite si indica:
Pertanto, sempre per definizione, dire che la successione converge verso l, equivale a dire che l è il suo limite, cioè:
Si consideri
si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Dimostrazione
a)
b)
Supponendo per ipotesi vera la a), si considera la sfera aperta di raggio ε, strettamente positivo e centro l, cioè
Per definizione di successione convergente verso l,
Pertanto, è dimostrata la b).
Dimostrazione
b) a)
Si deve dimostrare che la successione converge verso il numero reale l, pertanto si consideri un intorno di l, cioè
Ma, per l'ipotesi della b), risulta che
quindi
Si è così dimostrato che la successione converge verso il numero reale l, cioè
Nota bene
Si ricorda che, per la definizione di sfera aperta, risulta
Quindi, in seguito a tale osservazione, nella definizione di convergenza si può sostituire uno di questi valori.
Esempio 1
Si consideri la seguente applicazione così definita:
Cioè, si sta considerando la successione
si dimostra che:
cioè:
o equivalentemente che:
Allo scopo, si prende
Esempio 2
Sia
si consideri inoltre la seguente applicazione così definita:
Cioè, si sta considerando la successione
si dimostra che:
Infatti, fissato arbitrariamente
si dà la seguente definizione:
Si dice inoltre che l è il limite della successione.
Si osserva ora che:
-se una successione converge verso il limite l, essa converge solo verso di esso, cioè il limite di una successione è unico.
Pertanto, supponendo che la successione converga verso l' ed l'', si dimostra che
l' = l''.
Infatti, ragionando per assurdo, sia
l' ≠ l''
e, per una proprietà nota relativa agl'intorni,
Siccome la successione è convergente per ipotesi, in corrispondenza di
Se
Ma ciò è assurdo, poichè derivato dall'aver supposto l' ≠ l'', quindi si può concludere che
l' = l''.
In tema di notazioni e di terminologie, si fa presente che tale limite si indica:
Pertanto, sempre per definizione, dire che la successione converge verso l, equivale a dire che l è il suo limite, cioè:
Si consideri
si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Dimostrazione
a)
b)Supponendo per ipotesi vera la a), si considera la sfera aperta di raggio ε, strettamente positivo e centro l, cioè
Per definizione di successione convergente verso l,
Pertanto, è dimostrata la b).
Dimostrazione
b)
a)Si deve dimostrare che la successione converge verso il numero reale l, pertanto si consideri un intorno di l, cioè
Ma, per l'ipotesi della b), risulta che
quindi
Si è così dimostrato che la successione converge verso il numero reale l, cioè
Nota bene
Si ricorda che, per la definizione di sfera aperta, risulta
Quindi, in seguito a tale osservazione, nella definizione di convergenza si può sostituire uno di questi valori.
Esempio 1
Si consideri la seguente applicazione così definita:
Cioè, si sta considerando la successione
si dimostra che:
cioè:
o equivalentemente che:
Allo scopo, si prende
Esempio 2
Sia
si consideri inoltre la seguente applicazione così definita:
Cioè, si sta considerando la successione
si dimostra che:
Infatti, fissato arbitrariamente