MIKY & GENNY

RETTE E SEGMENTI ---> INDICE

Postulato dell'ordine della retta euclidea
Si dice che su una retta r è stato fissato un verso, se è stabilita una relazione tra coppie di punti (A, B) della retta per cui un punto precede l'altro. Questa relazione è detta verso e significa che A e B sono due punti della retta r. Se si dice che A precede B, s'introduce il verso indicato nella seguente figura.

Proprietà

1)-Se su una retta si hanno tre punti A, B, C, e si è stabilito che A precede B e che B precede C, allora si può asserire che A precede C.

2)-Se su una retta si hanno due punti A, B, e si è stabilito che A precede B e che B precede A, allora si può asserire che A e B coincidono.

3)-Se su una retta si prendono due punti qualsiasi, si possono introdurre due relazioni, ossia due versi, il primo quando A precede B e l'altro quando B precede A.

Il primo verso, Fig. 1, si ha quando un punto si sposta da A a B e segue il senso della freccia; il secondo verso, Fig. 2, si ha quando un punto si sposta da B ad A e segue il senso della freccia. In tal modo sono stati fissati due versi, uno opposto all'altro.

Postulato

Dati una retta r e due punti A e B distinti su di essa, cioè A ≠ B, e stabilito un verso, esiste un punto C diverso da A e da B, cioè  C ≠ A e C ≠ B, tale che A precede C e C precede B.
Ciò significa che fra due punti distinti A e B esistono sempre altri punti interni ad essi, pertanto si definisce segmento di estremi A e B l'insieme di tali punti, compresi A e B.

Postulato della continuità o di Dedekind
Si consideri sulla retta euclidea un segmento OP e si supponga di fissare come verso quello quello per cui O precede P. Sia I l'insieme dei punti del segmento OP, esso è suddiviso in due classi:
-la prima classe contiene O,
-la seconda classe contiene P.
Si osserva ora che ogni punto del segmento appartiene ad una sola classe ed ogni punto della prima classe precede ogni punto della seconda classe, cioè esiste un punto A appartenente al segmento OP, ed appartenente ad una sola classe, in modo che ogni punto della seconda classe segue A.
Con ciò si dimostra che, dato un segmento unitario OU, si può costruire un altro segmento OC tale che sia α volte OU, cioè

OC = αOU.

Si consideri una retta r e si fissino su di essa due punti distinti, O ed U, O ≠ U, ed il verso per cui O precede U.

O si chiama origine ed U punto unitario.

E' stato così fissato un riferimento OU, indicato con (O, U).
Si può quindi affermare che esiste una corrispondenza biunivoca senza eccezioni fra i punti della retta ed i numeri reali, cioè esiste una relazione che associa ad ogni punto della retta uno ed un solo numero reale; viceversa, fissato un numero reale appartenente all'insieme dei numeri reali, esiste uno ed un solo punto della retta r che è associato al numero reale.

Si considerano ora i punti della semiretta che contiene il punto U, supposta positiva, mentre quella che non contiene U è supposta negativa; si prende inoltre un punto X ≠ O, ossia si può considerare il segmento OX ed affermare che esiste uno ed un solo numero reale positivo tale che OX risulta multiplo di OU secondo il numero reale α. Si associa cioè al punto X il numero reale positivo α, tale che sia

OX = αOU.

Se invece X coincide con zero, allora al punto O si associa il numero zero dei numeri reali. Ora si considerano i punti X che appartengono alla semiretta negativa, si prende X ≠ O e si associa al punto X il numero reale negativo -α, per cui sia

OX = -αOU.

Ascissa
Il numero associato ad un punto prende il nome di ascissa, ossia α è ascissa di X e si scrive

X(α),

cioè X di ascissa α. L'ascissa dell'origine è 0 e quella del punto unitario è 1.
Se si cambia il riferimento , cambia anche l'ascissa.

Segmenti orientati
Si consideri una retta r e si fissino su di essa due punti distinti, X₁ ed X₂, X₁ ≠ X₂, che sono estremi del segmento X₁X₂:

Si considera la coppia formata dagli estremi X₁ ed X₂ e dal verso secondo cui X₁ precede X₂.
La coppia di verso X₁X₂ si chiama segmento orientato.
Due segmenti orientati sono uguali quando le coppie che formano i segmenti hanno primi e secondi membri uguali, cioè per definizione:

X₁X₂ = X₂X₃ (segmento di estremi X₁X₂ = segmento di estremi X₂X₃)  (verso X₁ precede X₂ = verso X₂ precede X₃).

Se X₁ ed X₂ sono due punti ed X₁ = X₂, X₁X₂ = X₂X₁;

se X₁ ed X₂ sono due punti ed X₁ ≠ X₂, X₁X₂ ≠ X₂X₁.

Si considerano due segmenti X₁X₂ ed X₃X₄, si dice che essi sono concordi, se il verso secondo il quale X₁ precede X₂ è lo stesso per cui X₃ precede X₄; se invece il verso è opposto, si dicono discordi.

Misura del segmento orientato
E' noto come si misura un comune segmento, cioè la misura X₁X₂, rispetto ad OU, è tale che

X₁X₂ = αOU.

Per i segmenti orientati, si considera sulla retta r il verso secondo cui O precede U, tale che:
se X₁X₂ è concorde con OU, si chiama misura del segmento orientato il numero α;
se X₁X₂ è discorde con OU, si chiama misura del segmento orientato il numero -α.
La misura del segmento orientato si chiama anche distanza orientata di X₂ da X₁.

Osservazione
Si indica la misura del segmento orientato X₁X₂ con d₁₂ e la misura del segmento orientato X₂X₁ con d₂₁, d'altronde risultano:

d₁₂ = α,  d₂₁ = -α,

quindi

d₁₂ = -d₂₁,

cioè

d₁₂ + d₂₁ = 0.

Si può dire che:
-comunque si prendano sulla retta due punti X₁ ed X₂, e si comunque si considerino i due segmenti orientati, la somma delle loro misure è uguale a zero.

Si cerca ora di estendere tale relazione: si prendano sulla retta tre punti X₁, X₂ ed X₃, se questi sono distinti, uno ed uno solo è interno agli altri due. Si suppone che X₂ sia interno, esiste pertanto un verso per cui X₁ precede X₂ ed X₂ precede X₃, ed il verso opposto per cui X₃ precede X₂ ed X₂ precede X₁. Nel primo caso si ha:

Cioè, se X₂ è interno ad X₁ ed X₃, si può asserire che

1) X₁X₃ = X₁X₂ + X₂X₃,

dove tutti sono segmenti orientati.
Quindi la misura del segmento somma è dato dalla somma delle misure dei segmenti.

Si considerano le varie misure dei segmenti della 1), cioè:

X₁X₃ = αOU,  X₁X₂ = βOU,  X₂X₃ = γOU,

e, sostituendo in essa, si ha

αOU = βOU + γOU,

o anche

2) α = β + γ.

Finora si sono considerati comuni segmenti, ora si considerano segmenti orientati:
per quanto riguarda il verso si sa che sono concordi, quindi si può dire che X₁ precede X₃ e quindi tutti i segmenti orientati hanno lo stesso verso. Si presentano due casi:
1)-si suppongono tutti e tre concordi, cioè X₁X₂, X₂X₃, X₁X₃ ed OU sono concordi e le varie misure risultano

d₁₃ = α,  d₁₂ = β,  d₂₃ = γ;

2)-si suppone che i segmenti X₁X₂, X₂X₃, X₁X₃ abbiano il verso opposto a quello di OU, quindi risulta

d₁₃ = -α,  d₁₂ = -β,  d₂₃ = -γ.

Nel primo caso, se si considera la relazione α = β + γ, si ha:

3) d₁₃ = d₁₂ + d₂₃.

Ricordando la proprietà secondo cui la misura del segmento somma è dato dalla somma delle misure dei segmenti, si suppone che, considerando i punti X₁ ed X₃ tali che

d₁₃ = -d₃₁,

sostituendo nella relazione 3), si ha:

-d₃₁ = d₁₂ + d₂₃,

o anche

d₁₂ + d₂₃ + d₃₁ = 0.

Nel secondo caso, si moltiplica la relazione α = β + γ per -1, cioè:

-α = -β + (-γ).

Considerando

-α = d₁₃,  -β = d₁₂,  -γ = d₂₃,

si ha

d₁₃ = d₁₂ + d₂₃.

Si può quindi dire che, comunque si considerino tre punti X₁, X₂, X₃ sulla retta euclidea, e comunque si considerino le misure dei tre segmenti, la seguente relazione sarà sempre soddisfatta:

d₁₂ + d₂₃ + d₃₁ = 0.

Tale relazione è sempre valida, anche quando due dei tre punti coincidono, ossia se

X₁ = X₃,

risulta

d₃₁ = 0

e la relazione suddetta si trasforma in

d₁₂ + d₂₃ = 0.

Invece di d₂₃ si può scrivere sempre d₂₁, poichè

X₁ = X₃,

quindi

d₁₂ + d₂₁ = 0.

Supponendo di aver dimostrato una relazione con n punti, n ≥ 3, con n intero, si vuol provare che la dimostrazione è analoga anche per n + 1 punti.

Infatti, si suppone di avere sulla retta n punti:

X₁, X₂, X₃, ..., X_n-1, X_n

e di aver dimostrato che

a) d₁₂ + d₂₃ + d₃₄ + ... + d_(n-1)n + d_n1 = 0,

ricordando che

d_(n-1)n

è la misura del segmento

X_n-1X_n

e che

d_n1

è la misura del segmento

X_nX₁.

Si considerino ora n + 1 punti:

X₁, X₂, X₃, ..., X_n-1, X_n, X_n+1

e di essi si prendano i tre punti

X₁, X_n, X_n+1,

per i quali vale la proprietà già enunciata per tre punti, quindi si ha

b) d_1n + d_n(n+1) + d_(n+1)1 = 0.

Portando d_n1 al secondo membro della a), si ha:

d₁₂ + d₂₃ + ... + d_(n-1)n = - d_n1 = d_1n.

Sostituendo nella b) il valore di d_1n, si ha:

d₁₂ + d₂₃ + ... + d_(n-1)n + d_n(n+1) + d_(n+1)1 = 0.

E' stato quindi dimostrato che, se la formula è valida per n punti, è valida anche per n + 1 punti.

Ci si serve ora di tale risultato per determinare la misura dei segmenti orientati, quando si conoscono le ascisse degli estremi dei segmenti orientati.
Si consideri di avere la seguente figura:

Comunque siano disposti X₁ ed X₂, si conoscono le ascisse x₁ ed x₂, cioè

X₁(x₁) ed X₂(x₂).

Si ricorda il significato di ascissa; essa è la misura del segmento OX₁ rispetto ad OU,

x₁ = α, se dato OX₁ = αOU, X₁ appartiene alla semiretta positiva,
x₁ = -α, se dato OX₁ = αOU, X₁ appartiene alla semiretta negativa.

Dire che X₁ appartiene alla semiretta positiva equivale a dire che OX₁ è concorde con OU, cioè U ed X₁ sono sulla stessa semiretta e risulta:

L'ascissa x₁ è positiva.

Dire che X₁ appartiene alla semiretta negativa equivale a dire che O precede U ed X₁ precede O, quindi i due segmenti OU ed OX₁ sono discordi e risulta

L'ascissa x₁ è negativa.

Si considerano i punti O, X₁ ed X₂ di ascisse x₁ ed x₂, applicando la relazione fra i tre punti si ha:

Tale relazione si può scrivere anche

e, sapendo che

si ha

Quindi, la misura del segmento orientato mediante le ascisse è uguale alla differenza dell'ascissa del secondo punto meno l'ascissa del primo punto.

Assegnati due riferimenti simili su una retta, (O, U) ed (O', U'), si vuole determinare la relazione analitica fra le ascisse di uno stesso punto rispetto ad essi.
Allo scopo, siano x l'ascissa del punto X rispetto al primo riferimento ed x' l'ascissa dello stesso punto X rispetto al secondo riferimento.

Si deve trovare la relazione che intercorre fra x ed x'.

Per quanto detto in precedenza, risulta:

x = d_OX, rispetto ad (O, U),
x' = d_O'X', rispetto ad (O', U').

I due segmenti unitari sono in relazione e quindi si può scrivere

O'U' = βOU,

con β > 0.

Si consideri la misura di O'U' rispetto ad OU, cioè

1) d_O'U' = β se O'U' è concorde con OU, d_O'U' = -β se O'U' è discorde con OU.

Si consideri inoltre la misura di O'X rispetto ad O'U'; se O'X = αO'U', con α > 0, si ha:

2) d_O'X = α se O'X' è concorde con O'U', d_O'X = -α se O'X è discorde con O'U'.

Allora, sostituendo nella relazione O'X = αO'U' il valore O'U' = βOU, si ha:

O'X = (αβ)OU.

A tal punto, si considera la misura del segmento orientato O'X rispetto ad OU, e si ha:

3) d_O'X = αβ se O'X' è concorde con OU, d_O'X = -αβ se O'X è discorde con OU.

Si suppone ora che nella 1) e nella 2) O'U' è concorde con OU ed OU è concorde con O'X; da ciò risulta OU concorde con O'X e quindi la 3) diventa

*) d_O'X = αβ = d'_O'Xd'_O'U'.

Supponendo inoltre che O'U' è concorde con OU ed O'X è discorde da O'U'; da ciò risulta O'X' discorde da OU e quindi la 3) diventa

*) d_O'X = -αβ = (-α)β = d'_O'Xd'_O'U'.

Come può notarsi, le due espressioni contrassegnate da *) rappresentano la stessa relazione

d_O'X = d'_O'Xd'_O'U',

da cui si deduce

D'altronde,

d'_O'X = x',

cioè è l'ascissa di O'X rispetto ad OU, e supponendo che d'_O'U' = h, h numero reale diverso da zero, dalla 4) si ha:

Si considerino ora O, O' ed X, per questi tre punti vale la relazione precedente, cioè

d_OO' + d_O'X + d_XO = 0,

quindi

d_O'X = d_OX - d_OO',

ricordando che

d_OX = x,

è l'ascissa di OX rispetto ad OU e che d_OO' è l'ascissa della nuova origine rispetto all'antico riferimento. Si indica

d_OO' = x₀,

e sostituendo nella relazione 5)

d_O'X = d_OX - d_OO',

si ha:

In tale formula

poichè h ≠ 0, mentre

può essere uguale a zero, e ciò si verifica se O' coincide con O.

Ponendo

con β numero a piacere, si ha la relazione fra l'ascissa di un segmento rispetto all'antico riferimento e l'ascissa dello stesso punto rispetto al nuovo riferimento:

 x' = αx + β,

cioè x' è uguale ad un polinomio di primo grado in x.

Si osserva quindi che esiste una relazione dei numeri reali nell'insieme dei numeri reali

tale che ad ogni x associ x' e risulti uguale ad αx + β. Ciò determina una corrispondenza biunivoca senza eccezioni: se si fissa un x', esiste un unico x appartenente ad R, tale che

x' = αx + β,

in altri termini

x'R xR  x' = αx + β.

Si considera ora

cioè la soluzione dell'equazione suddetta è considerata una trasformazione lineare intera.
Se si ha un riferimento (O, U) e si fissa x' = αx + β, cioè se si considerano un riferimento ed una trasformazione lineare intera

esiste un secondo riferimento (O', U') che è verificato da

x' = αx + β.

Infatti, indicando sempre,

siccome

si può, nel riferimento assegnato, determinare il punto O' della retta r, che ha come ascissa x₀, cioè O' tale che

d_OO' = x₀.

Si considera il punto U' tale che la misura del segmento orientato O'U' sia uguale ad h.

Riassumendo:

O'  d_OO' = x₀,  U'  d_O'U' = h.

I segmenti che sulla retta hanno estremo O' ed hanno misura |h|, h in valore assoluto, sono due e si scelga quello la cui misura del segmento orientato è proprio h. Si assumano questi due punti come fondamentali del nuovo riferimento (O', U'). Si hanno così due riferimenti (O, U) ed (O', U') e si determina la trasformazione che dall'ascissa di (O, U) permette di passare all'ascissa di (O', U'); essa ha equazione:

Pertanto, si vede che il nuovo riferimento è tale che il passaggio dalle precedenti alle nuove ascisse ha proprio come equazione quella che si era prefissata. Esiste quindi un riferimento (O', U'), tale che la trasformazione sia proprio quella prefissata. Ora si deve dimostrare l'unicità, ossia che tale punto è unico. Allo scopo, si supponga che esiste un altro riferimento (O'', U'') e si considerino (O, U) ed (O'', U'), si ha l'equazione

in cui

h' = d_O''U'',   x_'0 = d_OO''.

Se

coincide con

dovrà essere

Ricordando che (O', U') era stato costruito in modo tale che x_'0 = x₀, si ha che la nuova origine O'' coincide con O', perchè le ascisse rispetto ad OU sono uguali, cioè

U'' d_O''U'' = h' = 1/α  h = h'.

Resta così dimostrato che O' = O'' e, dalla precedente relazione, sostituendo O' ad O'', risulta

U'' d_O''U'' = d_O'U'.

Si deduce quindi che U' coincide con U'', pertanto, resta dimostrato che i due riferimenti coincidono, cioè l'unicità del riferimento esistente.

Rapporto semplice di tre punti
Si supponga di aver fissato sulla retta euclidea r un riferimento (O, U) e si consideri una terna ordinata di punti X₁ X₂ ed X₃ con la condizione X₂ ≠ X₃.
Si chiama rapporto semplice della terna ordinata di punti X₁, X₂ ed X₃ il numero reale

essendo x₁, x₂, x₃ ordinatamente le ascisse dei tre punti X₁ X₂, X₃ nel riferimento assegnato.
Il rapporto semplice è un numero reale, perchè X₂ ≠ X₃, quindi anche il rapporto semplice è diverso da zero.
Tale rapporto semplice si indica come segue:

A tal punto, si può dimostrare che il rapporto semplice è indipendente dal riferimento poichè, se si cambia riferimento, cambiano le ascisse ma il numero ottenuto dal rapporto semplice è sempre lo stesso.

Allo scopo, si considerino un altro riferimento (O', U') ed x' = αx + β, in cui α, β, α ≠ 0.
Se si indicano con x'₁, x'₂ ed x'₃ le nuove ascisse rispetto al nuovo riferimento, conoscendo le formule di trasformazione, si ha:

x'₁ = αx₁ + β,  x'₂ = αx₂ + β,  x'₃ = αx₃ + β.

Ora, si consideri il rapporto semplice di questi tre punti:

Come appunto volevasi dimostrare.

D'altronde, il rapporto semplice si può scrivere sotto la seguente forma:

e, considerando un altro segmento unitario, analogamente si ha

Quindi

Punto medio
Si considerino due punti distinti X₁ ≠ X₂, se X₃ è un punto medio tra X₁ ed X₂, il rapporto semplice della terna ordinata dev'essere uguale a -1:

(X₁ X₂ X₃) = -1.

Biunivocamente, se il rapporto semplice della terna ordinata è uguale a -1, il punto X₃ è medio tra X₁ ed X₂:

(X₁ X₂ X₃) = -1  (X₁ ≠ X₂)  (X₃ punto medio tra X₁ ed X₂).

Pertanto, X₃ è interno ad X₁ ed X₂, e ciò equivale a dire che X₁ precede X₃ ed X₃ precede X₂ in uno dei versi, in modo che il segmento orientato X₁X₃ sia concorde ed uguale al segmento X₃X₂. Si conclude che:

1) (X₁ ≠ X₂, X₃ punto medio tra X₁ ed X₂)  X₁X₃ = X₃X₂.

Si considerino ora, in un qualsiasi riferimento (O, U), i segmenti orientati uguali che, rispetto ad esso, hanno uguali misure. Pertanto, dalla relazione 1) segue:

d₁₃ = d₃₂ = -d₂₃.

Essendo X₁ ≠ X₂, X₃ ≠ X₁  X₃ ≠ X₂, d₂₃ ≠ 0, si può dividere la relazione

d₁₃ = -d₂₃

per la quantità d₂₃, pertanto in ultima analisi:

ma

non è altro che il rapporto semplice (X₁ X₂ X₃) della terna, quindi quanto asserito è vero.

Si dimostra ora il viceversa, cioè per ipotesi si suppone che il rapporto semplice (X₁ X₂ X₃) della terna sia uguale a -1, si deve dimostrare che X₃ è punto medio tra X₁ ed X₂.

Infatti, essendo

Considerando sempre la condizione d₂₃ ≠ 0, si ha

d₁₃ = d₃₂  X₁X₃ = X₃X₂.

Si deve dimostrare che le misure dei segmenti orientati X₁X₃ ed X₃X₂ sono uguali; essi hanno lo stesso verso, cioè X₁ precede X₃ ed X₃ precede X₂, cioè

X₁ ≠ X₂,  X₂ ≠ X₃,

ciò significa che X₁ ed X₂ sono punti distinti, e ciò comporta anche che X₃ è punto interno.
In definitiva si deduce che, essendo i segmenti orientati uguali ed X₃ interno, X₃ risulta punto medio tra X₁ ed X₂, quindi è soddisfatta la condizione necessaria e sufficiente affinchè X₃ sia punto medio, cioè:

(X₁ X₂ X₃) = -1.

Se si verificasse l'ipotesi X₁ = X₂, si avrebbe che X₁ precede X₃ ed X₃ precede X₁, quindi i tre punti coincidono.

A tal punto si può asserire che:

Si osserva ora che, se i punti X₁, X₂ ed X₃ hanno ascisse x₁, x₂ ed x₃, dall'uguaglianza ora ottenuta si ha:

x₃ - x₁ = -(x₃ - x₂),

x₃ - x₁ = -x₃ + x₂,

2x₃ = x₁ + x₂,

quindi l'ascissa media risulta uguale alla semisomma delle ascisse estreme, o meglio alla semisomma delle ascisse dei punti assegnati. Tale formula vale anche nel caso in cui si verifichi la coincidenza tra x₁ ed x₂.