MIKY & GENNY
COORDINATE ASCISSE SULLA RETTA ---> INDICE
Retta orientata
La retta orientata è la retta descritta da un suo punto che si muove in un senso o verso determinato. Ad esempio, la retta r può essere percorsa da un suo punto mobile nel senso o verso da A a B o da B ad A.
La scelta di uno dei due versi è arbitraria, il verso che si assume come positivo si denota con una freccia e, una volta scelto, deve rimanere fisso; il verso opposto al positivo si chiama verso negativo. Generalmente le rette orizzontali s'intendono orientate positivamente da sinistra a destra
e le verticali dal basso verso l'alto.
Le semirette, dette anche raggi, s'intendono percorse partendo dall'origine.
La retta orientata è la retta descritta da un suo punto che si muove in un senso o verso determinato. Ad esempio, la retta r può essere percorsa da un suo punto mobile nel senso o verso da A a B o da B ad A.
La scelta di uno dei due versi è arbitraria, il verso che si assume come positivo si denota con una freccia e, una volta scelto, deve rimanere fisso; il verso opposto al positivo si chiama verso negativo. Generalmente le rette orizzontali s'intendono orientate positivamente da sinistra a destra
e le verticali dal basso verso l'alto.
Le semirette, dette anche raggi, s'intendono percorse partendo dall'origine.
Segmento orientato
Un segmento orientato AB s'intende sempre percorso dall'estremo A all'estremo B, Esso è sempre positivo o negativo, a seconda che la retta a cui appartiene è orientata da A verso B o viceversa. Nella seguente figura il segmento AB risulta positivo, mentre il segmento CD risulta negativo.
Sistema di ascisse su una retta
Si dice che sulla retta orientata 
si è fissato sistema di ascisse quando è stato scelto:
1)-sulla un punto O detto origine;
2)-un segmento OU = u, unità di misura.
si è fissato sistema di ascisse quando è stato scelto:1)-sulla
un punto O detto origine;2)-un segmento OU = u, unità di misura.
Considerato un punto P della retta
,
resta definito un segmento orientato OP e quindi il numero reale
relativo m, che misura OP secondo l'unità u, numero che
sarà positivo o negativo a seconda che OP è positivo o
negativo. Viceversa, dato il numero reale m, razionale o irrazionale,
positivo o negativo, è sempre possibile determinare un segmento
OP, sulla retta orientata , che abbia per misura rispetto ad u, il valore m.Il numero reale m serve a fissare la posizione di P sulla
.Il numero m associato al punto P si chiama ascissa di P, e ciò si esprime con la scrittura convenzionale P(m).
L'origine O ha ascissa zero; il punto U, detto punto unità, ha ascissa +1.
Comunemente i punti O ed U si sottintendono prefissati una volta per sempre e quindi si omette di segnarli sulla retta orientata. Due punti simmetrici, rispetto ad O, hanno ascisse opposte.
Se P si muove sulla retta orientata
, allontanandosi illimitatamente da O, in modo che la distanza di P da O sia maggiore di qualunque segmento grande a piacere, l'ascissa di P cresce in valore assoluto e si dice che tende a +∞, più infinito, o a -∞, meno infinito, secondo il verso in cui avviene il movimento.Il punto P, di ascissa +∞ o -∞, si chiama punto all'infinito o improprio della retta orientata . Esso determina la caratteristica comune alla e ad ogni sua parallela, cioè la direzione comune di esse; quindi il punto all'infinito della è sinonimo di direzione.
Con l'introduzione del punto improprio della retta, si ottiene una corrispondenza biunivoca, senza eccezioni, fra i punti della retta orientata ed i numeri reali relativi, cioè:
-ad ogni punto corrisponde uno ed un solo numero reale relativo e ad ogni numero reale relativo corrisponde uno ed un solo punto della retta.
Nota bene
Si chiama corrispondenza biunivoca tra due insiemi di elementi una legge che ad ogni elemento del primo insieme associa uno ed un solo elemento del secondo insieme e viceversa, ad ogni elemento del secondo insieme associa uno ed un solo elemento del primo insieme.
Distanza orientata su una retta
Dati su una retta orientata
due punti A e B, si vuole determinare la loro distanza, ossia la
misura, con segno, del segmento AB. Tale distanza è negativa
o positiva a seconda che per andare da A a B si percorra la retta in
verso positivo o negativo, nulla se A coincide con B.
Quale che sia la posizione dei due punti, rispetto all'origine O sulla, considerando l'orientamento dei segmenti, sussiste sempre la relazione segmentaria:
(1) OA + AB = OB,
da cui
(2) AB = OB - OA
e indicando con a e b rispettivamente le ascisse dei punti A e B, si ha:
. Esso determina la caratteristica comune alla e ad ogni sua parallela, cioè la direzione comune di esse; quindi il punto all'infinito della è sinonimo di direzione.Con l'introduzione del punto improprio della retta, si ottiene una corrispondenza biunivoca, senza eccezioni, fra i punti della retta orientata
ed i numeri reali relativi, cioè:-ad ogni punto corrisponde uno ed un solo numero reale relativo e ad ogni numero reale relativo corrisponde uno ed un solo punto della retta.
Nota bene
Si chiama corrispondenza biunivoca tra due insiemi di elementi una legge che ad ogni elemento del primo insieme associa uno ed un solo elemento del secondo insieme e viceversa, ad ogni elemento del secondo insieme associa uno ed un solo elemento del primo insieme.
Distanza orientata su una retta
Dati su una retta orientata
due punti A e B, si vuole determinare la loro distanza, ossia la
misura, con segno, del segmento AB. Tale distanza è negativa
o positiva a seconda che per andare da A a B si percorra la retta in
verso positivo o negativo, nulla se A coincide con B.Quale che sia la posizione dei due punti, rispetto all'origine O sulla
, considerando l'orientamento dei segmenti, sussiste sempre la relazione segmentaria:da cui
e indicando con a e b rispettivamente le ascisse dei punti A e B, si ha:
cioè:
-la misura del segmento orientato AB è data dalla differenza tra l'ascissa del secondo estremo e quella del primo.
E' evidente la relazione:
Esempi
1)-Dati due punti A(1) e B(3), la distanza orientata
è data da:
cioè il segmento AB è 2 volte il segmento unitario, ed è orientato nello stesso verso della
.2)-Dati due punti A(1) e C(-4), la distanza orientata
è data da:
cioè il segmento AC è 5 volte il segmento unitario ed è orientato nel verso opposto della
.
Ascissa del punto medio di un segmento
Una prima applicazione della (3) è la determinazione dell'ascissa del punto medio di un dato segmento.
Siano a e b le ascisse degli estremi A e B di un segmento, si vuole determinare l'ascissa x del suo punto medio M.
Poichè
, dalla (3) si ha:
x - a = b - x,
da cui
cioè
Una prima applicazione della (3) è la determinazione dell'ascissa del punto medio di un dato segmento.
Siano a e b le ascisse degli estremi A e B di un segmento, si vuole determinare l'ascissa x del suo punto medio M.
Poichè
, dalla (3) si ha:da cui
2x = a+ b,
cioè
quindi l'ascissa del punto medio di un dato segmento è uguale alla semisomma delle ascisse degli estremi del segmento.
Esempio
1)-Dati due punti A(-2) e B(3), l'ascissa x del punto medio del segmento AB è:
Traslazione delle ascisse
Una seconda applicazione della (3) si ha nella risoluzione del problema della traslazione delle ascisse. Si suppone di voler riferire i punti di una retta orientata
ad una nuova origine O', rimanendo immutati il verso e l'unità di misura, conoscendo la posizione O' rispetto ad O.Se m è l'ascissa di O', secondo l'unità
= 1 e se x ed x' sono le ascisse di un punto qualsiasi P della retta rispetto ad O ed O', si ha, per la(1) OO' + O'P = OP,
cioè:
(5) m + x' = x,
da cui
(6) x' = x - m.
Nella figura
Esercizi e complementi
1)-Distanze orientate su una retta
Per le distanze orientate su una retta, se C è un terzo punto della retta orientata , tra le distanze dei tre punti A, B, C vale sempre la relazione di Charles:
ed essendo
si ha:
Tale relazione è valida per i sei casi che i tre punti possono presentare rispetto all'ordine di successione.
Se C coincide con O, la (8) si trasforma nella
(1) OA + AB = OB,
vista in precedenza.
La relazione (8) può estendersi per qualsiasi numero di punti
A1, A2, ..., An,
comunque situati sulla retta r:
(9) A1A2 + A2A3 + ... + An-1An + AnA1 = 0.
2)-Rapporto semplice di tre punti
Dati tre punti A, B, P sulla retta r, si definisce rapporto semplice dei tre punti, e si scrive (ABP), il rapporto AP/BP, cioè:
Questo rapporto dipende unicamente dal modo in cui si susseguono le lettere nel simbolo (ABP) e non dalla loro posizione sulla retta; così il rapporto (BCA) si scrive BA/CA, cioè:
In altri termini, si può dire che il rapporto semplice dei tre punti si ottiene dividendo il segmento primo-terzo per il segmento secondo-terzo.
Se i punti A e B hanno ascisse rispettivamente a e b, può sempre determinarsi univocamente il punto P, di ascissa x, che con A e B formi un rapporto semplice dato m.
ed m sarà positivo o negativo a seconda che il punto P divide esternamente o internamente il segmento AB.
Per m = -1, P è il punto medio di AB ed ha ascissa;
Per m = 0, il punto P coincide con A.
Per m = ± ∞, il punto P coincide con B.
Quando il punto P coincide con il punto B, si usa dire che il rapporto semplice è infinito: infatti, si annulla BP, denominatore del rapporto AP/BP, e si ricordi che una frazione è priva di significato quando ha il denominatore nullo. Per esempio, 7/0 è priva di significato; talvolta si scrive 7/0 = ∞, ove ∞ non è un numero, per cui l'uguaglianza 7/0 = ∞ è puramente formale.
Per m = 1, P coincide con il punto improprio della retta r.
Il valore di m del rapporto semplice (ABP) = m, è indipendente dal verso positivo scelto sulla r e dall'unità di misura.
Infatti, cambiando su r il verso positivo, i segmenti AP e BP cambiano entrambi di segno e quindi il loro rapporto resta inalterato.
Riepilogando, il rapporto m varia:
-da 0 ad ∞, passando per valori sempre negativi, quando P si muove da A a B;
-da ∞ a 1, restando positivo, quando P si muove da B al punto improprio della retta r;
-da 1 a 0, quando P, attraversato il punto improprio della retta r, passa attraverso questo da destra a sinistra, varia dal punto all'∞, della retta ad A.
In tal modo ad ogni punto P della retta r corrisponde un valore di m e viceversa.
Il rapporto m rappresenta i punti della retta, è assunto come coordinata e si chiama coordinata rapporto semplice o coordinata baricentrica.
Infatti, se si considerano i due punti A e B di pesi rispettivi p e n, il punto P è il baricentro del sistema dei due punti:
supposto m < 0.
Se si assume A coincidente con O e
si ottiene il sistema di ascisse considerato all'inizio.
3)-Trasformazione delle ascisse
Se in un sistema di riferimento fissato su una retta orientata si passa dall'unità
, all'unità 
tra le ascisse x e x' dello stesso punto P nel primo e secondo riferimento si ha la relazione:
da cui
ossia
quindi si ha
Cambiando solo il verso, essendo u = u', le (12), (13) forniscono x = - x', ossia:
(14) x + x' = 0.
4)-Relazione di Eulero
Se A, B, C, D sono quattro punti di una retta, vale la relazione di Eulero:
Dette a, b, c, d rispettivamente le ascisse dei punti A, B, C, D, la (15) si trasforma nella seguente identità.
(b - a)(d - c) + (c - a)(b - d) + (d - a)(c - b) = 0.
5)-Se M e N sono punti medi dei segmenti AB e CD, si ha:
Infatti:
6)-Se M è il punto medio del segmento AB e P un punto qualsiasi della retta, si ha:
Infatti:
, tra le distanze dei tre punti A, B, C vale sempre la relazione di Charles:ed essendo
si ha:
Tale relazione è valida per i sei casi che i tre punti possono presentare rispetto all'ordine di successione.
vista in precedenza.
La relazione (8) può estendersi per qualsiasi numero di punti
A1, A2, ..., An,
comunque situati sulla retta r:
(9) A1A2 + A2A3 + ... + An-1An + AnA1 = 0.
2)-Rapporto semplice di tre punti
Dati tre punti A, B, P sulla retta r, si definisce rapporto semplice dei tre punti, e si scrive (ABP), il rapporto AP/BP, cioè:
Questo rapporto dipende unicamente dal modo in cui si susseguono le lettere nel simbolo (ABP) e non dalla loro posizione sulla retta; così il rapporto (BCA) si scrive BA/CA, cioè:
In altri termini, si può dire che il rapporto semplice dei tre punti si ottiene dividendo il segmento primo-terzo per il segmento secondo-terzo.
Se i punti A e B hanno ascisse rispettivamente a e b, può sempre determinarsi univocamente il punto P, di ascissa x, che con A e B formi un rapporto semplice dato m.
da cui:
x - a = mx - mb,
x - mx = a - mb,
(1 - m)x = a - mb,
quindi
quindi
ed m sarà positivo o negativo a seconda che il punto P divide esternamente o internamente il segmento AB.
Per m = -1, P è il punto medio di AB ed ha ascissa;
Per m = 0, il punto P coincide con A.
Per m = ± ∞, il punto P coincide con B.
Quando il punto P coincide con il punto B, si usa dire che il rapporto semplice è infinito: infatti, si annulla BP, denominatore del rapporto AP/BP, e si ricordi che una frazione è priva di significato quando ha il denominatore nullo. Per esempio, 7/0 è priva di significato; talvolta si scrive 7/0 = ∞, ove ∞ non è un numero, per cui l'uguaglianza 7/0 = ∞ è puramente formale.
Per m = 1, P coincide con il punto improprio della retta r.
Il valore di m del rapporto semplice (ABP) = m, è indipendente dal verso positivo scelto sulla r e dall'unità di misura.
Infatti, cambiando su r il verso positivo, i segmenti AP e BP cambiano entrambi di segno e quindi il loro rapporto resta inalterato.
Riepilogando, il rapporto m varia:
-da 0 ad ∞, passando per valori sempre negativi, quando P si muove da A a B;
-da ∞ a 1, restando positivo, quando P si muove da B al punto improprio della retta r;
-da 1 a 0, quando P, attraversato il punto improprio della retta r, passa attraverso questo da destra a sinistra, varia dal punto all'∞, della retta ad A.
In tal modo ad ogni punto P della retta r corrisponde un valore di m e viceversa.
Il rapporto m rappresenta i punti della retta, è assunto come coordinata e si chiama coordinata rapporto semplice o coordinata baricentrica.
Infatti, se si considerano i due punti A e B di pesi rispettivi p e n, il punto P è il baricentro del sistema dei due punti:
supposto m < 0.
Se si assume A coincidente con O e
si ottiene il sistema di ascisse considerato all'inizio.3)-Trasformazione delle ascisse
Se in un sistema di riferimento fissato su una retta orientata si passa dall'unità
, all'unità tra le ascisse x e x' dello stesso punto P nel primo e secondo riferimento si ha la relazione:da cui
ossia
u x = u' x',
quindi si ha
Cambiando solo il verso, essendo u = u', le (12), (13) forniscono x = - x', ossia:
(14) x + x' = 0.
4)-Relazione di Eulero
Se A, B, C, D sono quattro punti di una retta, vale la relazione di Eulero:
Dette a, b, c, d rispettivamente le ascisse dei punti A, B, C, D, la (15) si trasforma nella seguente identità.
(b - a)(d - c) + (c - a)(b - d) + (d - a)(c - b) = 0.
5)-Se M e N sono punti medi dei segmenti AB e CD, si ha:
Infatti:
6)-Se M è il punto medio del segmento AB e P un punto qualsiasi della retta, si ha:
Infatti: