Da
questo fondamentale teorema, che è una conseguenza del postulato
delle parallele, si possono dedurre importanti corollari.
Corollario 1 - In un triangolo rettangolo i due angoli acuti sono complementari.
SOMMA DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO
Teorema - In ogni poligono la somma degli angoli interni è data dalla differenza fra il numero degli angoli piatti, pari al numero dei suoi lati, e due angoli piatti.
Ipotesi: sia dato un poligono di n lati.
Tesi: si vuole dimostrare che la somma dei suoi angoli interni è uguale a n-2 angoli piatti.
Dimostrazione
Si
congiunge un punto interno O del poligono con tutti vertici, pertanto
il poligono resta diviso in un numero di triangoli pari al numero dei
lati. Siccome la somma degli angoli di un triangolo è pari a due
angoli retti, ossia ad un angolo piatto, la somma degli angoli di tutti
questi triangoli è tanti angoli piatti per quanti sono i
triangoli, ovvero quanti sono i lati del poligono, cioè 5 nel
pentagono rappresentato nella figura seguente.
Ora, la somma degli angoli interni del poligono è uguale alla
somma degli angoli dei triangoli nei quali è scomposto,
diminuita di quelli che stanno intorno ad OC, che rappresentano un
angolo giro, ossia due angoli piatti.
Nel pentagono, la somma degli angoli interni è: 5-2=3 angoli piatti, o equivalentemente 6 angoli retti.