APPLICAZIONI NUMERICHE E ALGEBRICHE ALLA GEOMETRIA ---> INDICE
La
teoria della misura, mediante la sostituzione delle grandezze con le
loro misure, permette di trasformare relazioni geometriche di
uguaglianza e di disuguaglianza in altrettante relazioni algebriche.
Tale trasformazione è molto utile, perchè permette
l'applicazione dell'algebra alla geometria:
1)-nella dimostrazione dei teoremi,
2)-nella risoluzione dei problemi geometrici.
La dimostrazione dei teoremi geometrici può, in alcuni casi, essere semplificata con l'ausilio dell'algebra.
Ad esempio, se a, b rappresentano le misure di segmenti, le identità:
(a + b)2 = a2 + b2+ 2ab
(a - b)2 = a2 + b2- 2ab
esprimono teoremi di geometria; precisamente:
1)-il
quadrato costruito sulla somma di due segmenti equivale alla somma dei
quadrati costruiti su questi, aumentata del doppio del loro rettangolo;
2)-il
quadrato costruito sulla differenza di due segmenti equivale alla somma dei
quadrati costruiti su questi, diminuita del doppio del loro rettangolo.
Le applicazioni numeriche e algebriche alla geometria sono molto utili per la risoluzione dei problemi.
Applicazioni al teorema di Pitagora
Il teorema di Pitagora esprime l'equivalenza fra il quadrato costruito sull'ipotenusa
e la somma dei quadrati costruiti sui cateti. Quindi, se si indica con
a la misura dell'ipotenusa e con b, c le misure dei cateti, essendo a2, b2, c2 le aree di tali quadrati, si ha la relazione:
a2 = b2 + c2,
che traduce la relazione fra grandezze geometriche in una relazione fra le rispettive misure, quindi fra numeri.
Applicazioni al triangolo rettangolo
Indicando con a la misura dell'ipotenusa e con b, c le misure dei cateti, dalla relazione fondamentale:
(1) a2 = b2 + c2,
si ricavano:
(2) b2 = a2 - c2,
(3) c2 = a2 - b2,
estraendo la radice quadrata da ambo i membri di 1), 2), 3), si ha:
La (4) esprime che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti.
Le (5) e (6) esprimono che un cateto di un
triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della
differenza fra il quadrato dell'ipotenusa e il quadrato dell'altro
cateto.
Applicazioni al rettangolo
Un
rettangolo è diviso dalla sua diagonale in due triangoli
rettangoli uguali, in ognuno di essi i cateti sono i lati e l'ipotenusa
è la diagonale.
Perciò, se si indicano con a, b le dimensioni del rettangolo e con d la misura della diagonale, si hanno le formule;
che
permettono di ricavare la misura della diagonale
quando sono noti i lati, oppure uno dei lati quando si conosce la
diagonale e l'altro lato.
Applicazioni al quadrato
Indicando con l il lato di un quadrato e con d la misura della diagonale, per il teorema di Pitagora, si ha:
d2 = l2 + l2 ,
ossia
d2 = 2l2
ed estraendo la radice quadrata da ambo i membri, si ricava:
cioè (1)
pertanto si ha la seguente regola:
-la diagonale di un quadrato si ottiene moltiplicando il lato per
Indicando con h l'altezza, con b la base e con l il lato, si hanno le seguenti formule:
che permettono di calcolare l'altezza, la base e il lato, noti due di questi elementi.
Applicazioni al triangolo equilatero
Uno
dei due triangoli rettangoli in cui un'altezza divide un triangolo
equilatero ha come ipotenusa il lato e come cateti l'altezza e la
metà del lato.
Quindi, indicando con l il lato, e con h l'altezza, si ha:
ossia (1)
da cui si ricava la seguente regola:
-l'altezza di un triangolo equilatero si ottiene moltiplicando metà del lato per
inversamente, dalla formula (1) si ricava:
moltiplicando ambo i termini della frazione al secondo membro per
e questa formula dà il lato del triangolo equilatero conoscendo l'altezza.
Per l'area S, si ha:
e sostituendo ad h il valore trovato in precedenza, risulta
Quindi, la formula:
permette di calcolare l'area del triangolo equilatero conoscendo il lato.
Caso del triangolo rettangolo con un angolo acuto di 60°
Un triangolo
rettangolo che ha un angolo acuto di 60° e l'altro di conseguenza
di 30°, si può considerare come uno dei triangoli rettangoli
che si ottiene tracciando l'altezza in un triangolo equilatero e quindi
torna utile l'applicazione delle formule precedenti. Quindi:
-se un triangolo
rettangolo ha un angolo acuto di 30°, e l'altro di 60°, il
cateto opposto all'angolo di 30° è uguale alla metà
dell'ipotenusa; l'altro cateto è uguale a metà ipotenusa
moltiplicata per Indicando con l l'ipotenusa, le misure dei cateti sono perciò:
Teorema
di Pitagora generalizzato - Il quadrato costruito su un lato qualsiasi
di un triangolo è equivalente alla somma dei quadrati degli
altri due lati, ovvero a questa somma aumentata o diminuita del doppio
rettangolo di uno di questi lati per la proiezione dell'altro su di
esso, a seconda che il lato che si considera è opposto ad un
angolo retto, ottuso o acuto.
Sia ABC un triangolo qualsiasi;
-se l'angolo in A è retto, il teorema è noto;
-se l'angolo in A è ottuso o acuto, si pone:
Si ha:
Considerando contemporaneamente entrambi i casi e applicando il teorema di Pitagora al triangolo CBD, si ha:
BC2 = BD2 + CD2
e sostituendo le misure,
a2 = (c ± m)2+ h2
e quindi
a2 = c2 ± 2cm + m2 + h2.
Siccome
Altezze, mediane e bisettrici di un triangolo
Problema - Conoscendo i lati di un triangolo, determinare le altezze.
Sia ABC un triangolo qualsiasi, si pone:
Poichè degli angoli di un triangolo due sono almeno acuti, sia uno di questi.
Dopo aver tracciato l'altezza AD, e posto:
per il teorema di Pitagora generalizzato, si ha:
c2 = a2 + b2 -2ab',
da cui
Inoltre, dal triangolo ABC, si ha:
Indicando con 2p la misura del perimetro, cioè posto:
a + b + c = 2p,
sottraendo 2a da ambo i membri, si ricava
- a + b + c = 2(p -a)
e analogamente
a - b + c = 2(p -b),
a + b - c = 2(p - c).
Quindi la formula precedente si può scrivere:
Raggi dei cerchi inscritti, circoscritti ed exinscritti in un triangolo
Si risolvono i seguenti problemi:
1)-dati i lati di un triangolo, trovare il raggio del cerchio inscritto.
Considerato il triangolo ABC, O il centro del cerchio inscritto, si congiunge O con A, con B, con C e indicate con S l'area del triangolo ABC, con SBCO l'area del triangolo BCO, con SACO l'area del triangolo ACO e con SABO l'area del triangolo ABO, si ha:
S = SBCO + SACO + SABO.
Si
nota che i tre triangoli hanno la stessa altezza, che è il
raggio del cerchio inscritto, quindi, passando alle misure e indicando
con a, b, c le misure dei lati, con r la misura del raggio del cerchio
inscritto, si ha:
cioè
e ponendo
a + b + c = 2p,
si ottiene
S = rp,
da cui
Con procedimento analogo al precedente, indicando con ra il
raggio del cerchio tangente al lato a ed ai prolungamenti degli altro
due lati, exinscritto relativo al lato a, si perviene alla formula:
Formule analoghe si hanno per i raggi di cerchi exinscritti relativi agli altri due lati.
2)-dati i lati di un triangolo, trovare il raggio del cerchio circoscritto.
Sia dato il triangolo ABC,
O il centro della circonferenza circoscritta e AD l'altezza relativa al
lato BC. Si congiunge A con O e si prolunga fino ad incontrare in
E la circonferenza circoscritta. I
due triangoli rettangoli ACE, ADB sono simili perchè hanno
gli angoli in B ed in E uguali, insistendo sullo stesso arco
Si ha dunque:
AC : AD = AE : AB
Indicando
con a, b, c le misure dei lati BC, AC, AB, con R il raggio del cerchio
circoscitto e con h l'altezza relativa a BC, dalla proporzione
precedente si ricava:
b : h = 2R : c,
da cui
bc = 2R.
Moltiplicando ambo i membri della relazione precedente per a/4, si ha:
ossia, indicando con S l'area del triangolo
da cui
Lati di poligoni regolari inscritti in una circonferenza
1)-Determinare la misura del lato del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di cui si conosce la misura del raggio.
Sia ABC il triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro O. Si pone:
AB = l, OA = r,
si traccia l'altezza AD e la si prolunga fino ad incontrare in E la
circonferenza; inoltre si congiungono O ed E con B e con C, pertanto
risulta:
perchè
il quadrilatero OBEC è un rombo, in quanto BE, EC, lati
dell'esagono regolare inscritto, sono uguali al raggio.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo OBD, si ha:
risulta
Nota bene
L'altezza
di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è
uguale ai 3/2 del raggio; il centro della circonferenza la divide in
due parti, di cui quella che contiene il vertice è uguale al
raggio, l'altra è la metà del raggio stesso.
2)-Determinare la misura del lato di un quadrato inscritto in una circonferenza di cui si conosce la misura del raggio.
Sia ABCD il quadrato inscritto nella circonferenza di centro O. Si pone:
Dal triangolo rettangolo AOB si ricava:
q(AB) = q (AO) + q (OB)
e passando alle misure, si ha
l2 = r2 + r2
e successivamente
l2 = 2r2,
da cui
Nota bene
La distanza dal centro del cerchio dal lato del quadrato inscritto è uguale alla metà del lato stesso.
3)-Determinare la misura del lato dell'esagono regolare inscritto in una circonferenza di cui si conosce la misura del raggio.
Il lato dell'esagono regolare è uguale al raggio, quindi si ha;
Nota bene
La
distanza dal centro del cerchio di uno dei lati dell'esagono regolare
inscritto, ossia l'apotema dell'esagono è uguale all'altezza di
uno dei triangoli equilateri che si ottengono unendo il centro con gli
estremi del lato stesso, essa è data da:
Risoluzione dei problemi geometrici mediante le applicazioni numeriche o algebriche
L'applicazione della misura per la
risoluzione dei problemi di geometria consente la determinazione delle
misure di certe grandezze geometriche, e quindi delle grandezze stesse,
partendo dalle misure di altre grandezze note, o dati del problema.
Le misure delle grandezze possono essere date mediante numeri, e i problemi sono numerici, o possono essere indicate con lettere, e i problemi sono letterali.
Per la risoluzione dei problemi sia
numerici che letterali, alcune volte, basta eseguire successive
operazioni partendo dai dati, di regola le quattro operazioni
fondamentali con l'aggiunta di estrazioni di radici; altre volte,
occorre invece aggiungere fra i dati la misura di una grandezza
incognita, indicandola, come si usa generalmente, con x.
Fra i dati e
la x si può impostare un'equazione la cui risoluzione può
condurre alla determinazione di x, e quindi alla grandezza
corrispondente. Altre volte può essere conveniente assumere come
note, invece di una, più grandezze incognite, pervenendo così ad un sistema di equazioni.
Per la risoluzione dei
problemi geometrici con l'ausilio della misura, è utile indicare
alcune direttive allo scopo di facilitare la scelta della via da
seguire e di dare ordine e chiarezza all'esposizione.
1)-Si disegna la figura.
Se il problema è numerico, è opportuno che il disegno sia possibilmente in scala;
in ogni caso è necessario che sia nitido e che si avvicini a
quanto è indicato nell'enunciato. Si deve evitare di disegnare
figure particolari, a meno che non sia richiesto dal problema; se si
tratta di un triangolo qualsiasi, non si deve disegnare un triangolo
isoscele, nè un triangolo equilatero o un triangolo
rettangolo, ecc; se si deve tracciare una semiretta
qualsiasi dentro un angolo a partire dal vertice, non si deve disegnare
la bisettrice, ecc.
Una figura ben disegnata aiuta a trovare la
risoluzione del problema e, se in scala, permette di controllare i
risultati; viceversa una figura non conforme all'enunciato o poco
chiara, può indurre ad errori.
2)-Si mettono in evidenza i dati.
La
conoscenza e la posizione delle grandezze date sulla figura, in
relazione a quelle che si devono trovare, sono indispensabili
perchè forniscono orientamente sulla via da seguire.
3)-Si determinano le grandezze incognite.
Tali
grandezze si calcolano, se è possibile direttamente, partendo
dai dati, oppure s'imposta un'equazione, o il sistema di equazioni, fra
i dati e l'incognita, o più incognite, opportunamente scelte.
In
tal caso, si dice grado di un problema, il grado
dell'equazione o del sistema di equazioni cui si perviene. Tanto se si
deve procedere al calcolo diretto, delle grandezze incognite, quanto se
occorre impostare equazioni, bisogna tener presente le relazioni che si
traggono direttamente dall'enunciato e dai teoremi che si possono
applicare alla figura.
Questi teoremi generalmente riguardano i
triangoli; perciò, si deve osservare se nella figura
esistono triangoli, oppure se è possibile tracciare
opportunamnente dei segmenti ausiliari.
Dai triangoli uguali si possono trarre relazioni di uguaglianza fra i loro elementi.
Dai triangoli simili si possono dedurre proporzionifra i lati omologhi.Ai triangoli rettangoli si possono applicare il teorema di Pitagora e i due teoremi di Euclide.
Conviene ricordare pure le principali proprietà del cerchio, il teorema di Talete e alcune formule importanti trattate.
4)-Si controllano i risultati e si cercano le condizioni per la possibilità del problema.
Si controlla se il problema è numerico o ammette soluzioni o non ne ammette affatto.
Quindi, le soluzioni, se esitono si accettano senz'altro; conviene tuttavia fare qualche verifica per il controllo dei calcoli.
Tale
controllo può essere anche effettuato sulla figura; occorre
naturalmente che essa sia disegnata in scala, per cui, se con
dati del problema era apparso impossibile o poco agevole procedere alla
costruzione esatta, si deve rifare la figura, approfittando dei valori
trovati nel corso della riusoluzione.
Se invece il problema è
letterale, può darsi che esso non ammetta soluzione solo per
alcuni valori di quelli assegnati. Pervenuti quindi ad un risultato
letterale, prima di accettarlo, occorre vedere quali condizioni fra
quelle date devono essere soddisfatte affinchè il problema
sia possibile.
Tali condizioni si possono desumere discutendo la
soluzione trovata.
Se un problema è di primo grado, le
soluzioni in generale devono essere positive; sono da accettare anche,
in taluni casi, soluzioni negative previa opportuna interpretazione.
Se
il problema è di secondo grado, le soluzioni devono essere
innanzitutto reali; ciò esclude che fra le operazioni
necessarie, per ricavarle si possono estrarre radici quadrate di numeri
negativi. Le condizioni di realtà escludono quindi che le
operazioni sotto il segno di radice quadrate diano luogo a numeri
negativi.
Notevole interesse possono presentare nei problemi letterali certe soluzioni per valori particolari di quelli dati; è bene metterle in evidenza e trattarle a parte.
Con le indicazioni date, si risolvono ora alcuni problemi.
Problema 1)
- L'altezza di un triangolo isoscele è cm 48, il raggio del
cerchio inscritto cm 18; calcolare il perimetro del triangolo.
Sia dato il triangolo ABC e O il centro del cerchio inscritto. I dati sono quindi:
Si ha:
e
Dai triangoli simili AOE ed ACD, si ricava la proporzione:
DC : OE =AD : AE,
ossia
da cui
si ottiene
Infine,
il perimetro di ABC = cm (60 + 60 +72) =192,
l'area di ABC = cm2 (36 x 18) = cm2 1728.
Problema 2)
- In una circonferenza di raggio r si conduca un diametro ed una
semiretta ad esso perpendicolare distante a dal centro. Determinare
il raggio della circonferenza tangente al diametro, alla semicorda ed internamente alla circonferenza data.
Nella
figura seguente è indicata la circonferenza di raggio r, di
centro O e la corda perpendicolare in C al diametro. Per l'enunciato
è:
Si assume come grandezza incognita il raggio O'H della circonferenza, perciò si pone:
Trattazione del problema
Si
congiunga O con O' e si prolunghi la congiungente; questa
incontrerà le due circonferenze nel loro punto di tangenza T e
la circonferenza di centro O' nel punto E.
Applicando il teorema della tangente e della secante, ha:
q (OH) = rett. (OT, OE)
e passando alle misure, poichè è
e
si ha
(a + x)2 = r(r - 2x).
Risoluzione dell'equazione
Sviluppando e ordinando, si ha:
a2 + 2ax + x2 = r 2 - 2rx,
x2 + 2(a + r)x + (a2 - r 2) = 0,
Discussione
Le
radici dell'equazione sono reali e poichè a<r, l'equazione
presenta una permanenza e una variazione e perciò dà una
sola radice positiva, la minore in valore assoluto. Scartando il segno
negativo davanti al radicale, si ha che l'unica soluzione del problema
è:
Casi particolari
cioè
il raggio del cerchio in questione sarebbe uguale alla differenza fra
il lato e l'altezza del triangolo equilatero inscritto nel cerchio dato.
cioè il raggio del cerchio in questione sarebbe
uguale alla differenza fra il lato del quadrato inscritto nel cerchio dato e lo stesso cerchio.