MIKY & GENNY
FIGURE E MOVIMENTO ---> INDICE
LE FIGURE
Dicesi figura un insieme di punti.
Le rette, le semirette e i segmenti sono figure.
Una figura si dice piana, se è costituita da punti che giacciono in un piano.
Generalmente si considerano figure alle quali è possibile attribuire un contorno, che in seguito sarà definito caso per caso.
I punti di una figura che non sono sul contorno, si dicono interni; i punti non appartenenti alla figura, si dicono esterni.
Una figura è contenuta in un'altra, se tutti i suoi punti sono interni o, in parte sul contorno dell'altra.
Dicesi figura un insieme di punti.
Le rette, le semirette e i segmenti sono figure.
Una figura si dice piana, se è costituita da punti che giacciono in un piano.
Generalmente si considerano figure alle quali è possibile attribuire un contorno, che in seguito sarà definito caso per caso.
I punti di una figura che non sono sul contorno, si dicono interni; i punti non appartenenti alla figura, si dicono esterni.
Una figura è contenuta in un'altra, se tutti i suoi punti sono interni o, in parte sul contorno dell'altra.
Il contorno di una figura si dice rettilineo, se è costituito da segmenti. In seguito sarà trattato il cerchio: figura piana a contorno non rettilineo.
Linea chiusa e linea aperta
Si possono considerare figure piane aventi per contorno una qualsiasi linea chiusa, intendendo per linea chiusa un segno infinitamente sottile che lascia la punta di una matita che si sposta su un foglio di carta partendo da un punto e, dopo averla descritta, vi ritorna. Si possono considerare anche figure piane aventi per contorno una qualsiasi linea aperta, intendendo per linea aperta un segno infinitamente sottile che lascia la punta di una matita che si sposta su un foglio di carta partendo da un punto e, dopo averla descritta, non vi ritorna.
Figura convessa
Una
figura si dice convessa, quando congiungendo con un segmento due suoi
punti qualsiasi, tutto il segmento appartiene alla figura.
Figura concava
Una figura si dice concava quando non è convessa.
La parte comune di due figure convesse, tratteggiata in rosso, è una figure convessa.Infatti, il segmento
che congiunge due punti qualsiasi della figura intersezione delle due,
dovendo appartenere a due figure convesse, di cui l'intersezione
è la parte comune, appartiene a quest'ultima.
Uguaglianza delle figure
Due figure si dicono uguali quando mediante un movimento l'una può essere portata a coincidere punto per punto con l'altra.
Se due figure F ed F' sono uguali, si scrive F=F' e si legge F uguale ad F'.
I punti di due figure uguali che coincidono, quando le figure sono sovrapposte, si dicono corrispondenti od omologhi.
Postulati
1)-Ogni figura è uguale a se stessa.
Se una figura si muove, la si può riportare alla posizione primitiva, facendola coincidere con se stessa.
2)-Se una figura A è uguale ad una figura B, quest'ultima a sua volta è uguale alla figura A.
Se A si muove fino a coincidere con B, mediante il movimento inverso, B si può portare a coincidere con A.
3)-Due figure uguali ad una terza figura sono uguali fra loro.
Se una figura A è uguale a B e B è uguale a C, la figura A si può portare a coincidere con C facendole subire successivamente il movimento che la sovrappone a B e poi quello che sovrappone B a C.
Si ha inoltre che:
Tutte le rette sono uguali; tutte le semirette sono uguali; tutti i piani sono uguali, tutti i semipiani sono uguali.
MOVIMENTO
L'uguaglianza di due figure è stata ricavata dal concetto di movimento. Ora se si chiarisce tale concetto, e si rilevano sotto forma di postulati tali proprietà, le proprietà precedenti dell'uguaglianza si devono considerare non più come postulati, ma come teoremi: i cenni illustrativi ne sono la dimostrazione.
Ammettendo che le figure si possono muovere senza che subiscono alcuna deformazione, di una figura che si muove interessano soltanto le sue posizioni, iniziale e finale; perciò si considera il movimento determinato di una figura allorquando si conoscono le posizioni di partenza e di arrivo. Detto ciò, sono evidenti le seguenti proprietà, che si assumono come postulati denominati.
Postulati del movimento
1)-Dopo un movimento qualsiasi punti allineati rimangono allineati e un punto B compreso fra due punti A e C rimane compreso fra questi.
2)-Se una figura si muove fino a portarsi in una seconda posizione, con un movimento inverso la si può riportare nella posizione primitiva (proprietà simmetrica del movimento).
Facendo subire ad un figura un movimento, e poi quello inverso, la figura ritorna nella posizione iniziale. Questa operazione, che lascia fermo ogni punto, si dice movimento nullo o identità.
3)-Se una figura si porta da una prima ad una seconda posizione, e da questa ad una terza, si può portare direttamente dalla prima alla terza posizione.
4)-E' possibile muovere un semipiano fino a farlo coincidere con un semipiano fissato in modo che una semiretta sulla sua origine coincida con una semiretta assegnata sull'origine dell'altro.
In tal modo la posizione finale, e quindi il movimento del semipiano è perfettamente determinato. Analogamente si può determinare il movimento di una figura determinando il semipiano su cui essa giace.
Da quanto detto, si può dedurre, omettendo la dimostrazione, che:
1)-Se si muove una figura mantenendo fissi due suoi punti, sono fissi tutti i punti della retta che passa per essi.
2)-E' impossibile far muovere una figura mantenendo fissi tre punti non in linea retta.
Se una figura si muove mantenendo fissi i punti che si trovano su una retta, il movimento prende il nome di rotazione intorno ad una retta. Questa retta si chiama asse di rotazione.
Se una figura giace in un semipiano, la rotazione che la porta nel semipiano opposto prende il nome di ribaltamento. Nel ribaltamento la posizione finale e quella iniziale della figura formano due figure che si dicono simmetriche. L'asse di rotazione, in tal caso, si chiama asse di simmetria.
Figura concava
Una figura si dice concava quando non è convessa.
La parte comune di due figure convesse, tratteggiata in rosso, è una figure convessa.
Uguaglianza delle figure
Due figure si dicono uguali quando mediante un movimento l'una può essere portata a coincidere punto per punto con l'altra.
Se due figure F ed F' sono uguali, si scrive F=F' e si legge F uguale ad F'.
I punti di due figure uguali che coincidono, quando le figure sono sovrapposte, si dicono corrispondenti od omologhi.
Postulati
1)-Ogni figura è uguale a se stessa.
Se una figura si muove, la si può riportare alla posizione primitiva, facendola coincidere con se stessa.
2)-Se una figura A è uguale ad una figura B, quest'ultima a sua volta è uguale alla figura A.
Se A si muove fino a coincidere con B, mediante il movimento inverso, B si può portare a coincidere con A.
3)-Due figure uguali ad una terza figura sono uguali fra loro.
Se una figura A è uguale a B e B è uguale a C, la figura A si può portare a coincidere con C facendole subire successivamente il movimento che la sovrappone a B e poi quello che sovrappone B a C.
Si ha inoltre che:
Tutte le rette sono uguali; tutte le semirette sono uguali; tutti i piani sono uguali, tutti i semipiani sono uguali.
L'uguaglianza di due figure è stata ricavata dal concetto di movimento. Ora se si chiarisce tale concetto, e si rilevano sotto forma di postulati tali proprietà, le proprietà precedenti dell'uguaglianza si devono considerare non più come postulati, ma come teoremi: i cenni illustrativi ne sono la dimostrazione.
Ammettendo che le figure si possono muovere senza che subiscono alcuna deformazione, di una figura che si muove interessano soltanto le sue posizioni, iniziale e finale; perciò si considera il movimento determinato di una figura allorquando si conoscono le posizioni di partenza e di arrivo. Detto ciò, sono evidenti le seguenti proprietà, che si assumono come postulati denominati.
Postulati del movimento
1)-Dopo un movimento qualsiasi punti allineati rimangono allineati e un punto B compreso fra due punti A e C rimane compreso fra questi.
2)-Se una figura si muove fino a portarsi in una seconda posizione, con un movimento inverso la si può riportare nella posizione primitiva (proprietà simmetrica del movimento).
Facendo subire ad un figura un movimento, e poi quello inverso, la figura ritorna nella posizione iniziale. Questa operazione, che lascia fermo ogni punto, si dice movimento nullo o identità.
3)-Se una figura si porta da una prima ad una seconda posizione, e da questa ad una terza, si può portare direttamente dalla prima alla terza posizione.
4)-E' possibile muovere un semipiano fino a farlo coincidere con un semipiano fissato in modo che una semiretta sulla sua origine coincida con una semiretta assegnata sull'origine dell'altro.
In tal modo la posizione finale, e quindi il movimento del semipiano è perfettamente determinato. Analogamente si può determinare il movimento di una figura determinando il semipiano su cui essa giace.
Da quanto detto, si può dedurre, omettendo la dimostrazione, che:
1)-Se si muove una figura mantenendo fissi due suoi punti, sono fissi tutti i punti della retta che passa per essi.
2)-E' impossibile far muovere una figura mantenendo fissi tre punti non in linea retta.
Se una figura si muove mantenendo fissi i punti che si trovano su una retta, il movimento prende il nome di rotazione intorno ad una retta. Questa retta si chiama asse di rotazione.
Se una figura giace in un semipiano, la rotazione che la porta nel semipiano opposto prende il nome di ribaltamento. Nel ribaltamento la posizione finale e quella iniziale della figura formano due figure che si dicono simmetriche. L'asse di rotazione, in tal caso, si chiama asse di simmetria.