Teorema - Il luogo dei punti aventi da una retta distanza
uguale ad un segmento assegnato è costituito da due rette
parallele alla data e aventi da questa distanza uguale al segmento
assegnato.
Siano
a la retta data, r ed s due rette giacenti ognuna in uno dei semipiani
aventi per origine a, parallele ad a e distanti da essa del segmento
assegnato h. Si sa già che i punti di r e di s sono
equidistanti da a. Viceversa, un punto D, non giacente su r o su
s, non può avere da a distanza h, poichè se fosse DA=h,
dovrebbe aversi DA=RA, cioè un segmento dovrebbe essere
uguale ad una parte, il che è assurdo.
Teorema
- Le altezze di un triangolo concorrono in un punto; tale punto si chiama ortocentro.
Ipotesi: sia dato il triangolo ABC.
Tesi: si vuole dimostrare che le tre altezze s'incontrano in un punto H.
Dimostrazione
Infatti, da
ciascun vertice del triangolo si conduce la parallela al lato opposto
ed in tal modo si forma il triangolo A'B'C'. Si dimostra ora che i
vertici del triangolo dato sono i punti medi dei lati del nuovo
triangolo. Se si esaminano i parallelogrammi ABCB' e ABA'C, risulta: nel primo CB'=AB e nel secondo AB=CA', pertanto è CB'=CA'.
Quindi C è il punto medio del segmento A'B'. Allo stesso modo B
e A risultano punti medi dei lati A'C' e C'B'. Inoltre, l'altezza
condotta da C al lato AB, cioè l'altezza relativa ad
AB, risulta perpendicolare anche ad A'B', poichè AB e A'B'
sono
parallele; segue che l'altezza relativa ad AB è asse di A'B'. Ad
analoghe conclusioni si perviene per le altezze relative agli altri due
lati del triangolo ABC. Quindi, le altezze del triangolo ABC sono gli
assi dei lati del triangolo A'B'C', i quali concorrono in un punto.