Misura dell'arco e area del settore
Circa
la misura degli archi bisogna notare che essi sono delle linee e quindi
per la loro misura si sceglie come unità quella dei segmenti in
genere. Degli archi, oltre la lunghezza, è importante
considerare anche l'ampiezza, il cui significato risulta dalla seguente
definizione:
-si chiama ampiezza di un arco l'ampiezza dell'angolo corrispondente.
Da qui risulta che tutti gli archi di grandezza diversa, ma sottesi dallo stesso angolo al centro, hanno la stessa ampiezza.
L'ampiezza
di un arco può essere espressa in gradi, e precisamente dallo
stesso numero di gradi dell'angolo al centro corrispondente.
Si esaminano ora due principali problemi.
1)-Nota l'ampiezza di un arco ed il suo raggio, determinare la sua lunghezza.
2)-Nota la lunghezza di un arco ed il suo raggio, determinare la sua ampiezza.
I
due problemi si risolvono tenendo presente che gli archi sono
proporzionali agli angoli al centro, come si può subito
verificare.
Infatti, indicando con l la lunghezza dell'arco di raggio r, con α la sua ampiezza in gradi, sussiste la seguente proporzione:
l : 2πr = α : 360° ,
da cui si ricavano le formule
che risolvono i due problemi.
Se l'ampiezza è data in gradi e minuti primi, oppure in gradi, minuti primi e minuti secondi, nelle formule suddette, tanto α, quanto 180° devono essere ridotti nell'unità dell'ordine più piccolo.
Area del settore
Con
le stesse considerazioni fatte per il cerchio, sostituendo ai poligoni
regolari inscritti i settori poligonali regolari inscritti nell'arco,
si verifica che:
-un settore circolare è equivalente ad un
triangolo che ha per base l'arco del settore rettificato e per
altezza il raggio.
Perciò, indicando con l la lunghezza dell'arco di base del settore ed r il suo raggio, l'area del triangolo equivalente al settore è:
quindi anche per l'area A del settore si ha
Se
dell'arco si conosce l'ampiezza e il raggio, si calcola prima la
lunghezza l, come indicato in precedenza, e poi si applica la formula
suddetta.
Segmento circolare
Definizione - Si chiama segmento circolare la parte del cerchio compresa fra un arco e la corda che esso sottende.
Esso
è costituito dalla parte di piano contenuta in semipiano alla
cui origine appartiene la corda. L'area del segmento circolare di
determina come differenza, o come somma, fra l'area di un settore e
l'area di un triangolo.
Corona circolare Definizione - Si chiama corona circolare, la parte porzione di piano compresa fra due circonferenze concentriche.
Essa
è costituita dall'insieme dei punti che sono esterni alla
circonferenza di raggio minore ed interni a quella di raggio maggiore.
La sua area è data dalla differenza fra le aree dei cerchi che
la delimitano.
Nota bene
Possibilità della rettificazione della circonferenza e della quadratura del cerchio
Si
è visto che esiste un solo segmento equivalente ad una
circonferenza ed un poligono di superficie determinata equivalente ad
un cerchio, ma nulla si è detto sulla possibilità di una
loro effettiva costruzione.
Si può affermare che è
impossibile, con la riga e con il compasso soltanto, risolvere il
problema della rettificazione della circonferenza, e quindi della
quadratura del cerchio.
Tale impossibilità, che deriva dal fatto che non si può costruire con
l'uso della sola riga e del compasso un segmento che abbia per lunghezza π,
venne dimostrata in maniera rigorosa da Lindemann nel 1882, anche se
dopo vari tentativi fosse stata intuita da molto tempo.
Un eco si trova anche nella Divina Commedia di Dante Alighieri, Paradiso, XXXIII, 133:
Qual'è il geometra che tutto s'affige
Per misurar lo cerchio, e non ritrova,
Pensando, quel principio ond'egli indige
...
Dante
allude, in questa similitudine, all'insolubile problema della
quadratura del cerchio, cioè al problema dell'esatto rapporto
fra la misura del diametro e quello della circonferenza.
Si
aggiunge inoltre che non si tratta di impossibilità assoluta
come comunemente si crede, ma soltanto all'uso dei due strumenti che si
usano nella geometria elementare, in quanto che, usando strumenti atti
a tracciare particolari linee, si hanno costruzioni rigorose della
rettificazione della circonferenza e della quadratura del cerchio. Sono
però interessanti alcune costruzioni approssimate eseguibili col
solo uso della riga e del compasso.
Costruzione approssimata di una circonferenza rettificata
Sia data la circonferenza di centro O e raggio OA. Condotta la tangente in A, su di essa si costruiscono i segmenti consecutivi:
Sulla
semiretta AD si prenda AD = AB e da D si conduca la parallela ad OC,
che incontra la AC in E. Si dimostra che il segmento AE è, con
molta approssimazione, uguale alla circonferenza O.
Infatti, dalla similitudine dei triangoli DAE, OAC, si ha:
AE : AC = AD : AO.
Supposto che il raggio della circonferenza sia uguale ad 1, le lunghezze sei segmenti AC, AD, sono rispettivamente:
Quindi, indicando con x la misura del segmento AE, risulta:
da cui, dopo semplici calcoli, si ottiene
x = 6,283185...
La lunghezza della circonferenza rettificata sarebbe:
2π = 6,283185...
cosicchè AE supera la circonferenza di meno di due milionesimi del raggio.
Costruzione approssimata del quadrato equivalente ad un cerchio
Sul diametro AB di un cerchio di centro O, a partire da O e da bande opposte, si portino i segmenti
e dalla stessa banda un segmento
Descritte
da bande opposte ad AB due semicirconferenze di diametri EC ed AD, si
conduca la perpendicolare ad AB in O, la quale incontri in F e
in G le due semicirconferenze.
Si dimostra che il quadrato di lato FG è approssimativamente equivalente al cerchio dato.
Infatti, si ha:
OE : OF = OF : OC
e
OA : OG = OG : OD .
Supposta uguale ad 1 la lunghezza del raggio del cerchio, le lunghezze dei segmenti OE, OC sono rispettivamente
e quindi
Inoltre le lunghezze dei segmenti OA e OD sono 1 e 1,5 e quindi
Ora la lunghezza del lato del quadrato equivalente ad un cerchio di raggio 1 è:
quindi FG supera questo lato di meno di due centomillesimi del raggio.