Misure nel tronco di cono
Area della superficie laterale del tronco di cono - La superficie
laterale di un tronco di cono è equivalente ad un
trapezio, le cui basi sono le circonferenze rettificate
delle basi del tronco e la cui altezza è uguale all'apotema.
Un
cono di vertice V è tagliato da un piano parallelo alla base; si
ottiene un tronco di cono di cui H e H' sono i centri delle basi e BB'
l'apotema. Perpendicolarmente alla generatrice BV si traccia il
segmento BC, uguale alla circonferenza H rettificata. Il triangolo BVC
è equivalente alla superficie del cono AVB. Si conduce da B' la
parallela a B'C' e si ha:
1) VB : VB' = BC : B'C'
ed essendo simili i triangoli VBH e VH'B', si ha:
VB : VB' = HB : H'B',
ossia
VB : VB' = 2 π HB : 2 π H'B'
e per la 1)
2 π HB : 2 π H'B' = BC : B'C'.
Il triangolo
VB'C' è perciò equivalente alla superficie laterale del
cono VH'B' e perciò è dimostrato che il trapezio BCC'B',
che ha per altezza l'apotema e per basi le circonferenze rettificate
delle basi del tronco di cono, è equivalente alla superficie
laterale del tronco.
Indicando con R, r, a le misure del raggio
della base maggiore, del raggio della base minore e dell'apotema, per la
superficie laterale, si ha:
da cui si ricava la formula
S = π (R + r)a.
Per la superficie totale bisogna aggiungere alla superficie laterale quella delle due basi; si ha quindi la seguente formula:
S = π (R + r)a + π R2 + π r2.
Volume del tronco di cono
Un
tronco di cono è equivalente alla somma di tre coni aventi la
stessa altezza del tronco e per basi rispettivamente la base maggiore,
la base minore e la media geometrica delle basi.
Basta
ripetere lo stesso ragionamento effettuato per ottenere il volume di un
tronco di piramide; si perviene alla stessa formula. Quindi, se con R,
r, h e V si indicano le misure del raggio della base maggiore, del
raggio della base minore, dell'altezza e del volume, si perviene al risultato, ponendo:
B= π R2 e b= π r2,
nella formula
Quindi, sostituendo i valori di B e b in quest'ultima formula, si ha:
cioè
Misure nella sfera
Per comodità di dimostrazione, si premette la determinazione del volume a quella dell'area della superficie.
Volume della sfera
Una
sfera equivale ad una piramide la cui base è equivalente al
quadruplo di un suo cerchio massimo e la cui altezza è uguale al
suo raggio. Si considera:
1)-una semisfera;
2)-un cilindro che ha
una base coincidente con quella della semisfera, l'altezza uguale al
suo raggio e situato dalla stessa banda rispetto al piano della base
comune;
3)-un cono che ha il vertice nel centro della semisfera e la base coincidente con una base del cilindro.
Il solido, costituito dalla differenza fra il cilindro e la semisfera, si chiama, per la sua forma, scodella.
Un piano parallelo alle basi del cilindro taglia la scodella lungo una corona circolare e il cono secondo un cerchio.
Si dimostra che le due sezioni sono equivalenti.
L'area S della corona circolare è data da:
Siccome
perchè lati opposti di un rettangolo,
perchè raggi di una stessa sfera, risulta
Dal triangolo BOC, per il teorema di Pitagora, si ricava,
Essendo
il triangolo COA isoscele, risulta OC = CA, per cui sostituendo nella
prima relazione, l'area della corona circolare risulta:
e quindi uguale al cerchio sezione del cono.
Il
cono e la scodella, per il principio di Cavalieri, sono dunque
equivalenti. Perciò la semisfera, equivalente alla differenza
fra il cilindro dato e la scodella, equivale altresì alla
differenza fra il cilindro e il cono. Quindi, indicando con V' il
volume della semisfera e con r il suo raggio, si ha:
Pertanto il volume V della sfera, essendo il doppio di V', è dato da:
come volevasi dimostrare.
Quest'ultima formula si può scrivere come segue:
Area della superficie della sfera - La superficie sferica equivale al quadruplo del suo cerchio massimo.
Per il confronto di una superficie
sferica con un piano non è possibile procedere come è
stato fatto per le superfici cilindriche e coniche, poichè la
superficie sferica non è sviluppabile, cioè
nemmeno con opportuni tagli la si può distendere su un
piano.
Alla determinazione dell'area della superficie sferica si perviene mediante le seguenti considerazioni intuitive.
Si suppone di sostituire alla superficie
sferica una superficie poliedrica con un numero tanto grande di facce
tutte tangenti alla sfera e considerare il poliedro formato dalla somma
delle piramidi aventi il vertice comune nel centro della sfera e per
basi le innumerevoli faccette della superficie
sferica considerata. Tutte queste piramidi hanno per altezza il raggio
della sfera e quindi il volume del poliedro sarà uguale a quello
di una piramide avente per base la somma delle faccette del poliedro e
per altezza il raggio r della sfera, cioè è dato da 1/3
della somma delle aree di tutte le faccette per r.
Ora si può immaginare il numero delle faccette della superficie poliedrica talmente grande che il poliedro si possa immaginare come confuso con la sfera e la superficie poliedrica con la superficie
sferica, perciò si può concludere che il volume della
sfera è uguale ad 1/3 dell'area S della superficie per r,
siccome d'altra parte, si sa che il volume di una sfera è
espresso da:
si può scrivere la relazione
Volumi e aree di parti della sfera
Segmento sferico - Il
volume di un segmento sferico a due basi equivale alla somma dei volumi
di due cilindri aventi per altezza la metà dell'altezza e per
basi rispettive le basi del segmento stesso e di una sfera avente per
diametro l'altezza del segmento.
Indicando con a e b le misure del segmento e con h l'altezza, il volume del segmento sferico è dato da:
Sviluppando e raggruppando opportunamente i termini, si ha:
Dalla figura si nota che
perciò
cioè al quadrato del raggio a di una delle basi del segmento.
Analogamente si vede che:
r2 - n2 = b2,
essendo b il raggio dell'altra base e inoltre
perciò la formula precedente diventa:
che si può scrivere sotto la forma:
Tale formula esprime quanto richiede il teorema.
Settore sferico - Il
volume di un settore sferico è uguale a 2/3 di quello di un
cilindro di uguale altezza avente per raggio il raggio della sfera a
cui appartiene il settore.
Indicando con r il raggio della sfera, con h l'altezza del settore, il suo volume è dato da:
Infatti,
per avere il volume del settore, basta sottrarre da quello del
segmento sferico a due basi i volumi dei due coni con il vertice
comune nel centro O della sfera e aventi per base le basi stesse
del segmento sferico.
Perciò, indicando con t e z le altezze dei due coni e per il
resto adoperando le notazioni precedenti, la somma V' dei loro volumi
è data da:
Dai triangoli OAH e ODK si ricava:
1) a2 = r2 - t2 e b2 = r2 - z2
e, moltiplicando ambo i membri della prima equazione per t, quelli della seconda per z e sommando, si ha
2) a2t + b2z = r2(t + z) - (t3 + z3 ) = (t + z)[r2- (t2 - tz + z2)] = (t + z)[r2- (t + z)2+ 3tz)].
Si osserva ora che:
t + z = h,
quindi, elevando al quadrato ambo i membri,
t2 + z2+ 2tz = h2,
inoltre dalle 1) si ha
t2 = r2 - a2 e z2 = r2 - b2.
Sostituendo i valori di t2 e z2 nell'uguaglianza precedente, si ha:
r2 - a2 + r2 - b2 + 2tz = h2,
cioè:
2r2 - (a2 + b2)+ 2tz = h2.
Da
qui si ricava il valore di tz e lo si sostituisce nella 2) insieme
a quello di t + z = h; dopo semplici calcoli si ottiene:
Pertanto la somma dei volumi dei due coni è:
Sottraendo
questo valore di V' dall'espressione 1) precedente relativa al volume
del segmento sferico a due basi, si trova il volume V del settore
è dato dalla formula seguente:
Questa
formula, come si può verificare facilmente, vale anche quando le due
circonferenze che limitano la zona corrispondente al settore cadono da
una stessa banda dal centro O della sfera e anche quando la zona che
limita il settore è una calotta.
Zona sferica
Una zona
sferica è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni la
circonferenza massima rettificata e l'altezza della zona.
Indicando
con r il raggio della sfera a cui la zona appartiene e con h l'altezza della
zona, l'area S della zona è espressa da:
S = 2 π r h.
Per
la dimostrazione si effettua un ragionamento analogo a quello che ha
condotto al calcolo della superficie sferica. Si pensa di sostituire
alla superficie della zona un certo numero di faccette poligonali,
molto piccole, tangenti ad essa; allora il settore che ha per base la
zona o la calotta si può pensare costituito da un numero
grandissimo di piramidi, molto sottili, aventi il vertice comune nel
centro O della sfera e come basi le varie faccette poligonali sulla
zona; pertanto il settore sferico si può considerare come
equivalente ad una piramide avente per base la superficie della zona o
della calotta e per altezza il raggio r della sfera. Perciò,
indicando con S l'area di questa superficie e per il resto usando le
solite notazioni, si ha:
da cui
S = 2 π r h.
Area del fuso e volume dello spicchio sferico
E'
noto che i fusi e quindi anche gli spicchi sferici sono proporzionali
agli angoli al centro, per cui, indicando con V ed S rispettivamente il
volume dello spicchio e la superficie del fuso e con α il loro angolo al centro, si hanno le proporzioni:
dalle quali si ricava