Si conduce per r il piano β perpendicolare ad α, e sia s l'intersezione di β con α; r ed s sono parallele per il teorema precedente. I punti di r sono equidistanti dalla retta s, e quindi anche dal piano α, poichè le perpendicolari abbassate dai punti di r alla s sono anche perpendicolari ad α.
Infatti, qualora α e β avessero un punto in comune, per tale punto si potrebbero condurre due piani perpendicolari
alla stessa retta, e ciò è assurdo per il teorema "Per un
punto passa uno ed un solo piano, perpendicolare ad una retta data".
Teorema - Se due piani sono
paralleli, tutte le rette dell'uno sono parallele all'altro; viceversa,
se due piani sono paralleli, le rette parallele ad uno di essi, condotte
per i punti dell'altro, stanno su questo.
La prima parte è un'immediata conseguenza della definizione; si dimostra la seconda parte.
Siano α e β due piani paralleli e sia A un punto di α.
Si deve dimostrare che una retta r passante per A e parallela a β giace su α.
Infatti, si suppone per il momento che r non giaccia su α.
Si conduce per r e per un punto qualsiasi di β un terzo piano, questo taglia α lungo la retta r' passante per A e β
lungo la retta s, e questa retta e la r' devono essere parallele
perchè giacciono sullo stesso piano e non s'intersecano. Ma
allora in uno stesso piano si avrebbero per uno stesso punto A due
parallele r ed r' alla stessa retta s, il che è assurdo secondo il
postulato di Euclide.
Sui piani paralleli sono importanti i seguenti teoremi, dei quali ci si limita solo all'enunciato.
Teorema - Per un punto esterno ad un piano si può condurre uno ed un solo piano parallelo a quello.
Teorema - Due piani paralleli ad un terzo sono paralleli fra loro.
Intersezioni di rette e piani con piani paralleli
Teorema - Se due piani sono paralleli, ogni retta che incontra l'uno incontra anche l'altro.
Infatti, dal punto A'' della trasversale r' si traccia la parallele r'' ad r e siano B'' e C'' le intersezioni con i piani β e γ. Le rette B'B'' e C'C'' appartengono al piano r'r'' e non s'incontrano. Dunque, sono parallele.
Applicando il teorema di Talete nel piano, si ha:
A'B'' : B''C'' = A'B' : B'C'.
Siccome
A'B'' = AB e B''C'' = BC,
perchè lati opposti di un parallelogrammo, dalla proporzione precedente si ricava
AB : BC = A'B' : B'C',
come volevasi dimostrare.
Distanza fra piani paralleli
Teorema - Se due piani sono paralleli, i punti dell'uno sono equidistanti dall'altro.
Siano α e β due piani paralleli, A ed A' due punti qualsiasi del piano α.
Si deve dimostrare che: le distanze AB e A'B' dal piano β sono uguali.
Si osserva prima che, essendo i piani α e β paralleli, AB che è perpendicolare a β, è anche perpendicolare ad α per un teorema precedente. Quindi AB rappresenta tanto la distanza del punto A di α dal piano β, quanto la distanza del punto B di β, dal piano α. Analogamente A'B' rappresenta tanto la distanza del punto A' dal piano β, quanto quella di B' dal piano α.
D'altra parte il quadrilatero ABB'A' è un rettangolo, perciò AB e A'B' sono uguali.
Definizione - Si chiama distanza di due piani paralleli la distanza di un punto qualunque di uno dei piani dall'altro.
Rette parallele
Teorema - Due rette perpendicolari ad un piano sono parallele.
Le rette a e b siano perpendicolari ad un piano α nei punti A e B.
Si deve dimostrare che: le rette a e b sono parallele.