Teorema - Se due rette s'incontrano, anche due rette ad esse perpendicolari si incontrano.
Ipotesi: siano a, b, due rette con un punto comune O, r ed s due rette ad esse rispettivamente perpendicolari.
Tesi: si deve dimostrare che r ed s s'incontrano.
Dimostrazione
Infatti,
se la retta r fosse parallela ad r, la retta a, che è perpendicolare ad r,
sarebbe anche perpendicolare ad s, ed allora da uno stesso punto O vi
sarebbero due rette perpendicolari ad una stessa retta s e ciò
è assurdo.
Teorema - Se due rette sono parallele, tutti i punti dell'una hanno uguale distanza dall'altra.
Ipotesi: date le due rette parallele a e b, siano AB e CD le distanze di due punti qualsiasi della retta dalla retta b.
Tesi: si deve dimostrare che AB e CD sono uguali.
Dimostrazione
Infatti, si congiungono i punti B e C e si considerano i due triangoli ABC e DCB: essi hanno il lato BC in comune, gli angoli α e β uguali, perchè alterni interni fra le parallele AB e CD e la trasversale BC, ed hanno uguali gli angoli γ=μ,
perchè alterni interni fra le parallele AC, BD e la trasversale
BC. I due triangoli, avendo un lato uguale e gli angoli ad esso
adiacenti uguali, sono uguali. In particolare risulta che AB=CD,
perchè lati opposti ad angoli uguali.
Quindi: la distanza di un punto qualsiasi di una retta da un'altra retta ad essa parallela si dice distanza delle due rette parallele.
Angoli con lati paralleli
Si
dice che due semirette parallele hanno lo stesso verso o che sono
concordi, se giacciono dalla stessa parte rispetto alla retta passante
per le loro origini, come a e b nella prima figura; che hanno verso
contrario o che sono discordi, se giacciono da parti opposte rispetto alla stessa retta, come c e d, nella seconda figura.