MIKY & GENNY
SEMIPIANO E ANGOLO ---> INDICE
IL SEMIPIANO
Il concetto intuitivo del piano giustifica il seguente:
Postulato della partizione del piano.
Una retta r divide il piano in due parti, ognuna delle quali contiene infiniti punti, in modo che: un segmento che ha per estremi due punti appartenenti alla stessa parte non incontra r; un segmento che per estremi due punti appartenenti a parti opposte incontra r. Questo postulato equivalentemente ammette che una retta divide il piano in cui giace in due parti distaccate; ciascuna delle due parti si chiama semipiano. Quindi, per definizione:
Si dice semipiano ognuna delle parti in cui un piano rimane diviso da una sua retta. Questa retta si chiama origine.
I punti non sull'origine di un semipiano si dicono interni al semipiano. I due semipiani in cui una retta divide un piano si dicono opposti. Due punti di un piano si dicono dalla stessa parte o dalla parte opposta, rispetto ad una sua retta r, a seconda che si trovino in uno stesso semipiano di cui r è origine o in semipiani opposti. Nella seguente figura, A e B sono dalla stessa parte, C e D sono dalla parte opposta rispetto a r.
Un semipiano che ha per origine la retta r si indica con rA, dove A è un punto qualsiasi del semipiano stesso.
Dal postulato della partizione del piano si deduce la seguente proprietà, che ci si limita soltanto ad enunciare, data la sua evidenza:
Una semiretta che ha origine sul contorno di un semipiano e passa per un punto interno, giace interamente nel semipiano. Se gli estremi di un segmento appartengono ad un semipiano, tutto il segmento appartiene al semipiano.
L'ANGOLO
Se su un piano si tracciano due semirette aventi la stessa origine O, OA e OB, il piano rimane diviso in due parti ciascuna delle quali prende il nome di angolo. Pertanto:
L'angolo è la parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa origine.
L'origine si dice vertice dell'angolo e le due semirette OA e OB si dicono lati dell'angolo.
Per indicare un angolo si stabilisce prima il punto A di un lato, poi il vertice O, infine il punto B dell'altro lato, e si scrive:
Alcune volte, quando non vi è possibilità di equivoco, un angolo si indica anche con la sola lettera del vertice, oppure con lettere dell'alfabeto greco: α=alfa, β=beta, γ=gamma, δ=delta λ=lamda, μ=mu, ρ=ro,..., ecc.
Il concetto intuitivo del piano giustifica il seguente:
Postulato della partizione del piano.
Una retta r divide il piano in due parti, ognuna delle quali contiene infiniti punti, in modo che: un segmento che ha per estremi due punti appartenenti alla stessa parte non incontra r; un segmento che per estremi due punti appartenenti a parti opposte incontra r. Questo postulato equivalentemente ammette che una retta divide il piano in cui giace in due parti distaccate; ciascuna delle due parti si chiama semipiano. Quindi, per definizione:
Si dice semipiano ognuna delle parti in cui un piano rimane diviso da una sua retta. Questa retta si chiama origine.
I punti non sull'origine di un semipiano si dicono interni al semipiano. I due semipiani in cui una retta divide un piano si dicono opposti. Due punti di un piano si dicono dalla stessa parte o dalla parte opposta, rispetto ad una sua retta r, a seconda che si trovino in uno stesso semipiano di cui r è origine o in semipiani opposti. Nella seguente figura, A e B sono dalla stessa parte, C e D sono dalla parte opposta rispetto a r.
Un semipiano che ha per origine la retta r si indica con rA, dove A è un punto qualsiasi del semipiano stesso.
Dal postulato della partizione del piano si deduce la seguente proprietà, che ci si limita soltanto ad enunciare, data la sua evidenza:
Una semiretta che ha origine sul contorno di un semipiano e passa per un punto interno, giace interamente nel semipiano. Se gli estremi di un segmento appartengono ad un semipiano, tutto il segmento appartiene al semipiano.
Se su un piano si tracciano due semirette aventi la stessa origine O, OA e OB, il piano rimane diviso in due parti ciascuna delle quali prende il nome di angolo. Pertanto:
L'angolo è la parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa origine.
L'origine si dice vertice dell'angolo e le due semirette OA e OB si dicono lati dell'angolo.
Per indicare un angolo si stabilisce prima il punto A di un lato, poi il vertice O, infine il punto B dell'altro lato, e si scrive:
Alcune volte, quando non vi è possibilità di equivoco, un angolo si indica anche con la sola lettera del vertice, oppure con lettere dell'alfabeto greco: α=alfa, β=beta, γ=gamma, δ=delta λ=lamda, μ=mu, ρ=ro,..., ecc.
Angoli convessi e angoli concavi
Si chiama angolo convesso, l'angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Si chiama angolo concavo, l'angolo che contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Angoli consecutivi
Angoli adiacenti
Due angoli si dicono adiacenti se hanno un lato in comune e gli altri due lati sono semirette opposte.
Nella figura seguente gli angoli adiacenti sono α e β.
Angoli opposti al vertice
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
Angolo piatto e angolo giro
Il concetto di angolo viene esteso supponendo che i lati possono essere:
-costituiti da semirette opposte, e quindi ciascuna delle parti in cui viene diviso il piano è un semipiano, che prende il nome di angolo piatto.
-costituiti da semirette coincidenti, e quindi bisogna considerare solo una parte, che è tutto il piano e prende il nome di angolo giro.
Confronto di angoli
Dati due angoli, è possibile confrontarli e stabilire se sono uguali o disuguali. Un metodo semplice di confronto e quella del foglio trasparente: si ricalcano i lati ed il vertice del primo angolo su tale foglio, poi lo si sposta sovrapponendo i due vertici O e O' ed il lato AO ad A'O'. Se anche OB e O'B' si sovrappongono i due angoli sono uguali:
Trasporto dell'angoloDue angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto. Segue che:
-Gli angoli adiacenti sono supplementari.
-Angoli supplementari di uno stesso angolo, o di angoli uguali, sono uguali.
Infatti, se α e β sono supplementari dello stesso angolo γ, si ha: α+γ=angolo piatto, β+γ=angolo piatto e siccome α+γ=β+γ, risulta α=β.
Due angoli opposti al vertice sono uguali.
Infatti, gli angoli opposti al vertice α e β sono supplementari dello stesso angolo adiacente γ, perciò sono uguali.
Angolo retto
Dicesi angolo retto, un angolo metà di un angolo piatto.
L'angolo α è retto.
Angolo acuto
Dicesi angolo acuto, un angolo minore di un angolo retto.
L'angolo è β acuto
Angolo ottuso
Dicesi angolo ottuso, un angolo maggiore di un angolo retto.
L'angolo γ è ottuso
Angoli complementari
Due angoli si dicono complementari se la loro somma è uguale ad un angolo retto.
Misura degli angoli
Misurare un angolo significa determinare quante volte un angolo scelto come unità di misura, o un suo sottomultiplo, è contenuto nell'angolo dato. La misura di un angolo si dice anche ampiezza dell'angolo. Come unità di misura degli angoli si usa un angolo che si dice grado sessagesimale, o semplicemente grado.
Il grado è la 360ma parte dell'angolo giro. Di conseguenza:
Un angolo piatto ha un'ampiezza di 180° e un angolo retto di 90°.
I sottomultipli del grado sono:
-il primo: sessantesima parte del grado,
-il secondo: sessantesima parte del primo.
Ogni secondo si divide poi in decimi, centesimi, ecc., di secondo. Se la misura di un angolo è 18 gradi, 12 primi, 14 secondi, si scrive: 18°, 12', 14".
Uno strumento molto semplice per ottenere facilmente la misura di un angolo è il goniometro, formato da un semicerchio di materiale plastico. La semicirconferenza è divisa con trattini in 180 parti uguali, ciascuna delle quali corrisponde ad un angolo di 1°.
Si chiama angolo convesso, l'angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Si chiama angolo concavo, l'angolo che contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Angoli consecutivi
Due
angoli si dicono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune e gli altri due lati sono situati da parti opposte
rispetto al lato comune.
Nella figura seguente i due angoli consecutivi sono α e β.
Nella figura seguente i due angoli consecutivi sono α e β.
Angoli adiacenti
Due angoli si dicono adiacenti se hanno un lato in comune e gli altri due lati sono semirette opposte.
Nella figura seguente gli angoli adiacenti sono α e β.
Angoli opposti al vertice
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
Due rette che s'intersecano formano quattro angoli: due a due opposti al vertice, due a due adiacenti. Nella figura seguente gli angoli opposti al vertice sono α e β.
Angolo piatto e angolo giro
Il concetto di angolo viene esteso supponendo che i lati possono essere:
-costituiti da semirette opposte, e quindi ciascuna delle parti in cui viene diviso il piano è un semipiano, che prende il nome di angolo piatto.
-costituiti da semirette coincidenti, e quindi bisogna considerare solo una parte, che è tutto il piano e prende il nome di angolo giro.
Confronto di angoli
Dati due angoli, è possibile confrontarli e stabilire se sono uguali o disuguali. Un metodo semplice di confronto e quella del foglio trasparente: si ricalcano i lati ed il vertice del primo angolo su tale foglio, poi lo si sposta sovrapponendo i due vertici O e O' ed il lato AO ad A'O'. Se anche OB e O'B' si sovrappongono i due angoli sono uguali:
Bisettrice di un angolo
Postulato - In un angolo esiste una sola semiretta interna con l'origine nel vertice che divide l'angolo in due parti uguali. Tale semiretta si chiama bisettrice. Nella figura seguente è rappresentata la bisettrice dell'angolo avente per lati OA e OB e per vertice O.
Un sistema pratico per tracciare la bisettrice di un angolo è il seguente: con la carta trasparente si fa un modello dell'angolo dato, poi si piega il foglietto sul quale lo si è tracciato in modo che la piegatura passi per il vertice O e che i due lati OA e OB si sovrappongano. La piegatura del foglietto rappresenta la bisettrice dell'angolo dato. In seguito saranno trattati altri metodi che consentiranno di disegnare la bisettrice di un angolo con maggiore precisione.
Invertibilità dell'angolo
Ogni angolo è invertibile, cioè esiste un movimento che ne scambia i lati.
Infatti, dato l'angolo α avente vertice B e lati BA e BC, il suo ribaltamento intorno alla bisettrice lo capovolge, cioè scambia fra loro i lati BA e BC.
Postulato - In un angolo esiste una sola semiretta interna con l'origine nel vertice che divide l'angolo in due parti uguali. Tale semiretta si chiama bisettrice. Nella figura seguente è rappresentata la bisettrice dell'angolo avente per lati OA e OB e per vertice O.
Un sistema pratico per tracciare la bisettrice di un angolo è il seguente: con la carta trasparente si fa un modello dell'angolo dato, poi si piega il foglietto sul quale lo si è tracciato in modo che la piegatura passi per il vertice O e che i due lati OA e OB si sovrappongano. La piegatura del foglietto rappresenta la bisettrice dell'angolo dato. In seguito saranno trattati altri metodi che consentiranno di disegnare la bisettrice di un angolo con maggiore precisione.
Invertibilità dell'angolo
Ogni angolo è invertibile, cioè esiste un movimento che ne scambia i lati.
Infatti, dato l'angolo α avente vertice B e lati BA e BC, il suo ribaltamento intorno alla bisettrice lo capovolge, cioè scambia fra loro i lati BA e BC.
Trasporto dell'angolo
Dato
un triangolo ed una semiretta, esiste, da una parte prefissata di
questa, uno ed un solo angolo che abbia per lato quella semiretta
e sia uguale all'angolo dato.
Infatti, dato l'angolo α e la semiretta OA, se si trasporta l'angolo α in modo che un suo lato coincida con la semiretta OA e che stia da una parte prefissata rispetto alla semiretta, l'altro lato si porterà in una posizione OB ben determinata, dunque risulta:
Relazioni fra angoli
Dati due angoli α e β, si dice che: α è maggiore di β, o β minore di α, e si scrive rispettivamente α>β e β<α, se β è uguale ad un parte di α.
Somma di due angoli consecutivi
Dicesi somma di due angoli consecutivi α e β, l'angolo γ avente per lati OA, OC non comuni.
Somma di due angoli non consecutivi
Dicesi somma di due angoli non consecutivi, la somma di due angoli consecutivi uguali ad essi.
Somma di tre angoli o più angoli
Differenza di due angoli
Dicesi differenza di due angoli α e β, con α>β, l'angolo γ=α-β.
Multipli di un angolo
Dato un angolo α, la somma di due, tre, ... angoli uguali ad esso è un angolo doppio, triplo, ..., che si chiama multiplo dell'angolo α secondo il numero 2, 3, ...
In figura è rappresentato l'angolo avente per lati PR e PQ, multiplo dell'angolo di lati OA, OB secondo il numero 3,
e si scrive:
Sottomultipli di un angoloInversamente, se l'angolo avente per lati PR e PQ è il triplo dell'angolo
di lati OA, OB, si dice che quest'angolo è la terza parte
del primo, o sottomultiplo secondo il numero 3 e si scrive:
Angoli supplementari
Infatti, dato l'angolo α e la semiretta OA, se si trasporta l'angolo α in modo che un suo lato coincida con la semiretta OA e che stia da una parte prefissata rispetto alla semiretta, l'altro lato si porterà in una posizione OB ben determinata, dunque risulta:
Relazioni fra angoli
Dati due angoli α e β, si dice che: α è maggiore di β, o β minore di α, e si scrive rispettivamente α>β e β<α, se β è uguale ad un parte di α.
Somma di due angoli consecutivi
Dicesi somma di due angoli consecutivi α e β, l'angolo γ avente per lati OA, OC non comuni.
Somma di due angoli non consecutivi
Dicesi somma di due angoli non consecutivi, la somma di due angoli consecutivi uguali ad essi.
Siano α e β due angoli non
consecutivi, per determinare la loro somma, si ricorre al metodo
del trasporto, cioè si trasporta sul foglio di carta lucida il
secondo angolo in modo che O'C coincida con il lato OB e che il
lato O'D venga a cadere dalla parte opposta di AO rispetto ad OB,
allora:
Somma di tre angoli o più angoli
Per
sommare tre o più angoli, si addiziona al primo il secondo, al
risultato ottenuto il terzo e così via. Dati tre angoli,
calcolare la loro somma: δ=α+ β+γ.
Differenza di due angoli
Dicesi differenza di due angoli α e β, con α>β, l'angolo γ=α-β.
Multipli di un angolo
Dato un angolo α, la somma di due, tre, ... angoli uguali ad esso è un angolo doppio, triplo, ..., che si chiama multiplo dell'angolo α secondo il numero 2, 3, ...
In figura è rappresentato l'angolo avente per lati PR e PQ, multiplo dell'angolo di lati OA, OB secondo il numero 3,
e si scrive:
Sottomultipli di un angolo
Angoli supplementari
-Gli angoli adiacenti sono supplementari.
-Angoli supplementari di uno stesso angolo, o di angoli uguali, sono uguali.
Infatti, se α e β sono supplementari dello stesso angolo γ, si ha: α+γ=angolo piatto, β+γ=angolo piatto e siccome α+γ=β+γ, risulta α=β.
Due angoli opposti al vertice sono uguali.
Infatti, gli angoli opposti al vertice α e β sono supplementari dello stesso angolo adiacente γ, perciò sono uguali.
Angolo retto
Dicesi angolo retto, un angolo metà di un angolo piatto.
L'angolo α è retto.
Angolo acuto
Dicesi angolo acuto, un angolo minore di un angolo retto.
L'angolo è β acuto
Angolo ottuso
Dicesi angolo ottuso, un angolo maggiore di un angolo retto.
L'angolo γ è ottuso
Angoli complementari
Due angoli si dicono complementari se la loro somma è uguale ad un angolo retto.
Segue:
-Tutti gli angoli retti sono uguali.
Infatti, essi sono la metà degli angoli piatti, che sono uguali fra loro.
-Se due angoli adiacenti sono uguali, sono retti.
E' ovvio.
-Angoli complementari di uno stesso angolo, o di angoli uguali sono uguali.
Infatti, ognuno di essi è la differenza fra un angolo retto ed un angolo α.
Infatti, essi sono la metà degli angoli piatti, che sono uguali fra loro.
-Se due angoli adiacenti sono uguali, sono retti.
E' ovvio.
-Angoli complementari di uno stesso angolo, o di angoli uguali sono uguali.
Infatti, ognuno di essi è la differenza fra un angolo retto ed un angolo α.
Misura degli angoli
Misurare un angolo significa determinare quante volte un angolo scelto come unità di misura, o un suo sottomultiplo, è contenuto nell'angolo dato. La misura di un angolo si dice anche ampiezza dell'angolo. Come unità di misura degli angoli si usa un angolo che si dice grado sessagesimale, o semplicemente grado.
Il grado è la 360ma parte dell'angolo giro. Di conseguenza:
Un angolo piatto ha un'ampiezza di 180° e un angolo retto di 90°.
I sottomultipli del grado sono:
-il primo: sessantesima parte del grado,
-il secondo: sessantesima parte del primo.
Ogni secondo si divide poi in decimi, centesimi, ecc., di secondo. Se la misura di un angolo è 18 gradi, 12 primi, 14 secondi, si scrive: 18°, 12', 14".
Uno strumento molto semplice per ottenere facilmente la misura di un angolo è il goniometro, formato da un semicerchio di materiale plastico. La semicirconferenza è divisa con trattini in 180 parti uguali, ciascuna delle quali corrisponde ad un angolo di 1°.