1)-Trasformare un triangolo in un altro triangolo di base data.
Sia ABC il
triangolo dato. Partendo da A, sulla semiretta AB si costruisce un
segmento AD uguale alla base data. Si congiunge D con CB e da B si
traccia la parallela a DC, fino ad incontrare il lato AC, o il
prolungamento, in un punto C'. Infine si congiunge D con C'. Il
triangolo richiesto è ADC'. Infatti, il triangolo dato ABC e
il triangolo ottenuto ADC', il quale ha la base AD uguale alla base
data, sono somme dello stesso triangolo ABC' e rispettivamente dei
triangoli BCC', BC'D, i quali sono equivalenti perchè hanno la
stessa base BC' e i vertici opposti C e D su una retta parallela a
questa.
2)-Trasformare un triangolo in un altro triangolo di altezza data.
Sia
ABC un triangolo dato. Dalla parte di C, rispetto ad AB si conduce la
parallela ad AB che abbia da AB distanza uguale all'altezza. Sia D il
punto in cui tale parallela incontra il lato AC o il suo prolungamento.
Si congiunge D con B e da C si traccia la parallela a BD, la quale
incontra la retta del lato AB in un punto C'. Infine si congiunge D con
C'. Il triangolo ADC' ha l'altezza richiesta ed è equivalente al
triangolo dato ABC. Infatti, il triangolo ABC e il triangolo ottenuto
ADC' sono composti dal triangolo comune ACC' e dai triangoli C'CD e
C'CB, che sono equivalenti perchè hanno la stessa base CC' e la
stessa altezza; quindi sono equivalenti.
3)-Trasformare un poligono in un triangolo equivalente.Sia
dato il poligono ABCDE. Inizialmente si trasforma in un altro poligono
con un lato in meno: si traccia la diagonale che unisce gli estremi non
comuni di due lati consecutivi, ad esempio B con D; dall'estremo comune
C si traccia la parallela a BD fino ad incontrare il prolungamento del
terzo lato consecutivo AB in un punto F. Dopo aver unito D con FM si
ottiene il poligono AFDE che ha un lato in meno del dato. Si dimostra
che è a questo equivalente. Infatti, i triangoli BDF e BDC sono
equivalenti perchè hanno la base BD in comune ed uguali altezze,
perchè i vertici opposti C e F stanno sulla retta CF parallela a
BD. Ora, il poligono ABCDE è somma del poligono ABDE e del
triangolo BDC; il poligono ottenuto AFDE è somma di dello stesso
poligono ABDE e del triangolo BDF. Quindi, come somme di poligoni
equivalenti, i due poligoni ABCDE e AFDE sono equivalenti.
Ripetendo la costruzione sul poligono ottenuto, si ha un altro poligono
con un altro lato in meno, cioè con due in meno di quello dato.
Continuando così successivamente per un numero conveniente di volte, si
ottiene infine un triangolo equivalente al poligono dato.
4)-Trasformare un rettangolo in un quadrato.
Sia
ABCD il rettangolo dato. Sul lato maggiore AB si descrive una
semicirconferenza avente AB come diametro. Dopo aver preso internamente
ad AB un segmento BE uguale a BC, si traccia da E una perpendicolare
fino ad incontrare la semicirconferenza
in un punto F; BF è il lato del quadrato richiesto. Infatti, se
si congiunge F con A, il triangolo AFB risulta rettangolo e BE risulta
uguale alla proiezione del cateto BF sull'ipotenusa. Per il teorema di
Euclide è dunque: Essendo BE e BC uguali per costruzione, si ha:
5)-Trasformare un poligono in un quadrato.
Si
trasforma il poligono in un triangolo, questo in un rettangolo, che
deve avere la stessa altezza e base a metà, ed infine il
rettangolo in un quadrato.