e quindi
dalle (1) seguono le relazioni
A al punto seguono tre regole fondamentali.
Regola 1 - Il coseno di un angolo è uguale al seno dell'angolo complementare, e viceversa.
Regola 2 - La cotangente di un angolo è uguale alla tangente dell'angolo complementare, e viceversa.
Regola 3 - La secante di un angolo è uguale alla cosecante dell'angolo complementare, e viceversa.
2)-Angoli supplementari
Definizione - Due angoli
si dicono supplementari, se la loro somma è 180°, oppure se
differisce da 180° per un multiplo qualsiasi di 360°.Quindi il supplementare di un angolo α si può indicare con la scrittura
180° - α + k360° oppure π - α + 2kπ.
Ad esempio, gli angoli di 60° e 120° sono supplementari; analogamente,
sono supplementari gli angoli di 220° e 330°, perchè la
loro somma è uguale a 540° = 180° + 360°.
Si considera ora un angolo appartenente al I quadrante e sia
il suo supplementare; i due punti P e P' si troveranno quindi su una
parallela all'asse delle x ed allora, abbassando da essi le
perpendicalari PQ e PQ' all'asse delle x si ottengono i due
triangoli rettangoli uguali OQP e OQ'P'.
Tenendo conto dei versi, si ottiene
da cui risulta anche
Analogamente si hanno le formule
sec(180° - α) = -secα, cosec(180° - α) = cosecα.
A tal punto seguono tre regole fondamentali.
Regola 1 - I seni di angoli supplementari sono uguali.
Regola 2 - I coseni, le tangenti e le cotangenti di angoli supplementari sono uguali e di segno contrario.
Regola 3 - Le secanti di angoli supplementari sono uguali e di segno contrario; le cosecanti sono uguali.
3)-Angoli che differiscono di 180°
Si considera un angolo appartenente al I quadrante e sia un angolo che differisce da α di 180°, cioè sia
I due
punti P e P' sono diametralmente opposti e quindi, se da essi si
tracciano le perpendicolari PQ, P'Q' all'asse delle x, i due triangoli rettangoli OQP e OQ'P' sono uguali.
Tenendo conto dei versi, si ha:
Analogamente si hanno le formule
sec(180° + α) = -secα, cosec(180° + α) = -cosecα.
A tal punto seguono tre regole fondamentali.
Regola 1 - I seni e i coseni di angoli che differiscono di 180° sono uguali e di segno contrario.
Regola 2 - Le tangenti e le cotangenti di angoli che differiscono di 180° sono uguali.
Regola 3 - Le secanti e le cosecanti di angoli che differiscono di 180° sono uguali e di segno contrario.
Dalla
regola 1 si deduce che per le funzioni seno e coseno l'angolo di
180° è un semiperiodo, dalla 2 segue di nuovo che l'angolo
di 180° è un periodo per le funzioni tangente e cotangente.
4)-Angoli opposti
L'opposto di un angolo si può indicare con -α + k360°, oppure, se si considerano misure positive, con 360° - α + k360°.
Ad
esempio, i due angoli di 30° e -30° sono opposti; analogamente,
sono opposti gli angoli di 60° e 300°, perchè 60° +
300° = 360°.
Si considera un angolo appartenente al I quadrante e sia il suo angolo opposto; i due punti P e P', perciò, si troveranno sulla parallela all'asse delle y.
I
due
triangoli rettangoli uguali OQP e OQ'P' risultano uguali fra loro
e, tenendo conto dei versi, si ha QP' = -QP. Quindi:
da cui risulta anche
Analogamente si hanno le formule
sec(360° - α) = sec(-α) = secα, cosec(360° - α) = cosec(-α) = -cosecα.
Si raccolgono ora i risultati ottenuti nel seguente prospetto: