e ciò dimostra quanto asserito.
b)-Nel caso in cui si conosce la differenza b - c, si riporta sul prolungamento s' del lato s il segmento e sul lato r il segmento .
Congiunto
E con C, si conduce l'asse del segmento EC, fino ad incontrare il
lato s in A; il triangolo ABC soddisfa le condizioni date.
Infatti, tale triangolo ha il lato , l'angolo , per costruzione, inoltre siccome A si trova sull'asse del segmento EC, risulta EA = AC, pertanto si ha:
e ciò dimostra quanto asserito.
Nota bene
Queste
costruzioni conservano naturalmente un loro preciso significato sotto
l'ipotesi che effettivamente esistano i vari punti d'incontro di cui si
parla. La ricerca delle condizioni, sotto le quali ciò avviene
effettivamente, porterebbe alla determinazione di certe condizioni
analitiche che rappresenterebbero il risultato della discussione. Tale
ricerca si omette.
7° caso
-risoluzione di un triangolo, conoscendo i raggi dei cerchi ex-inscritti.
Indicando tali raggi con ra, rb, rc, dalle formule
moltiplicandole a due a due, si ha:
Sommando membro a membro, segue:
rarb + rbrc + rarc = p(p - c) + p(p - a) + p(p - b) = p[3p - (a + b + c)] = p(3p - 2p) = p2
e quindi
Inoltre, risolvendo la prima delle (3) rispetto a c, si ottiene:
rarb = p2 - pc,
da cui
e per la formula (4)
Per gli altri due lati a e b si procede analogamente.
Per ottenere gli angoli ci si serve delle formule di Briggs relative alle tangenti, si ha:
o anche
Si procede analogamente per:
Applicazioni della trigonometria negli altri campi
Moltissime
applicazioni della trigonometria si trovano nella geodesia, nella
topografia e nell'astronomia. Si accennano soltanto alcuni problemi
semplici ed elementari, osservando che in questi campi le misure delle
lunghezze e degli angoli, relative ai dati del problema in esame,
vengono eseguite con metodi molto accurati, mediante strumenti di
precisione, come livelli azimutali, teodoliti, tacheometri, stadie e
cannocchiali anallattici.
Problema 1 - Calcolare l'altezza di una torre la cui cima sia inaccessibile.
Sia
h l'altezza della torre, schematizzata in figura con il segmento BC; si
misuri orizzontalmente sul terreno, a partire dal piede B della torre,
una distanza a piacere Si misuri poi l'angolo e, dal triangolo rettangolo ABC, si ha:
h = atgα.
Se
la distanza AB non è orizzontale, si indichi con H il punto in
cui l'orizzontale per A incontra la vericale BC, come risulta dalle
figure seguenti.
Si misurano allora da A gli angoli
Applicando il teorema dei seni al triangolo ABC, segue che:
siccome è complementare di α, risulta Quindi:
dove si considera il segno + o -, a seconda che B si trovi al di sotto o al di sopra dell'orizzontale AH.
Problema 2 - Calcolare la distanza di un punto da un altro visibile ma non accessibile.
Questo problema ha molta importanza in astronomia e in topografia, per il rilievo dei terreni.
Si
suppone che i due punti A e C, visibili l'uno dall'altro, siano
separati da un ostacolo, per esempio da un fiume. Fissato un punto B,
si misura la distanza qualsiasi , e poi gli angoli
Detta
x la distanza incognita AC, applicando il teorema dei seni al triangolo
ABC, del quale si conoscono un lato e i due angoli adiacenti, risulta:
e quindi
Problema 3 (Problema di Hansen o di Snellius) - Calcolare la distanza fra due punti visibili, ma non accessibili.
Siano A, B i punti visibili da C, ma non accessibili; si misura una base qualsiasi e poi i cinque angoli
Se in particolare i punti A, B, C, D sono complanari, basta misurare solo gli angoli α, β, γ, δ, φ, perchè allora φ = α - β.
In ciascuno dei triangoli ACD, BCD si vengono così a conoscere un lato e due angoli, quindi si ha:
e si possono determinare i lati AC, BC.
Dal triangolo ABC infine, essendo noti i due lati AC, BC e l'angolo compreso φ, si trova la misura x del lato AB, ossia la distanza cercata.
Problema 4 (Problema di Pothenot o dei quattro punti).
Questo è il classico problema, molto importante in topografia.
Dati
tre punti A, B, C, complanari, non allineati, e un quarto punto P,
complanare con essi e posto internamente all'angolo convesso ABC, si
tratta di calcolare le distanze di P dagli altri punti A, B, C.
Sono noti gli angoli
e i lati
S'introducono ora due angoli ausiliari x, y, ponendo:
Applicando il teorema dei seni a ciascuno dei
triangoli ABP, BCP e ricordando che angoli supplementari hanno seni
uguali, segue che:
da cui
Da
queste formule risulta evidente che, per trovare le distanze AP, BP, CP,
occorre determinare gli angoli ausiliari x, y. Poichè la
somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a
360°, si ha:
x + y + α + β + φ = 360°,
quindi
x + y = 360° - (α + β + φ)
e si indica con ω.
Si calcola ora il valore della differenza x - y.
Dall'uguaglianza (6), si ha:
Allora si calcola l'angolo γ del I quadrante, tale che
Quindi si ha:
e perciò, per proprietà note delle proporzioni,
o anche, ricordando che tg45° = 1,
Per il teorema di Nepero, è noto che:
e si ha:
ossia
con ω noto.
Da questa relazione si ricava
e poi x - y; ponendo x - y = ρ, si deduce il sistema
e
si determinano facilmente gli angoli ausiliari x, y. Dopo di
ciò, le distanze cercate sono date dalle formule (5) e (6).