Dalla seconda di queste due relazioni si calcola cosβ e lo si sostituisce nella prima, si ha:
o anche, riducendo a forma intera,
cdd12 = cd(a2 + b2) - abd12 + ab(c2 + d2),
e quindi mettendo in evidenza d12,
d12(ab + cd) = cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2).
Sviluppando le parentesi del secondo membro, si ha:
d12(ab + cd) = a2cd + b2cd + c2ab + d2ab,
o anche, mettendo in evidenza opportunamente,
d12(ab + cd) = ad(ac + bd) + bc(bd + ac) = (ac + bd)(ad + bc),
infine risulta
Analogamente, per l'altra diagonale, si ha: