I lati b e c si trovano applicando il teorema dei seni, espresso da:
e si ha
Esempio - Risolvere il triangolo avente il lato a = 40 e gli angoli β = 60° 42' 10'', γ = 78° 20' 15''.
Si ha subito:
α = 180° - (60° 42' 10'' + 78° 20' 15'') = 40° 57' 35'',
quindi
b = 53,22, c = 59,76.
Nota bene
1)-Appena calcolato α, si conosce un lato e l'angolo opposto, cioè una coppia di elementi corrispondenti. Quando ci si trova in queste condizioni, per completare la risoluzione del triangolo, si applica il teorema dei seni.
2)-E' interessante osservare che in tal caso la risoluzione del triangolo si può effettuare applicando le regole del triangolo rettangolo.
Infatti,
se si conduce dal vertice C l'altezza CH relativa al lato AB, nel caso
che questa cada all'interno di AB , considerando il triangolo
rettangolo BCH, si ha:
Inoltre
α = 180° - (β + γ),
considerando quindi il triangolo CHA, segue:
Inoltre, sempre dal triangolo rettangolo CHA, si deduce:
Analogamente si procede se il piede H dell'altezza cade esternamente al lato AB.
3° caso
-risoluzione di un triangolo qualsiasi, conoscendo due lati e l'angolo compreso.
Indicati con a, b, γ, gli elementi noti del triangolo, si può ottenere il lato c applicando il teorema di Carnot:
Questa
formula però non è calcolabile con i logaritmi, pertanto
si deve trasformare usando il procedimento visto in precedenza.
Ciò comporterebbe calcoli eccessivamente laboriosi, quindi si
procede diversamente, iniziando con il calcolo dei due angoli incogniti
α, β.
Di tali angoli si conosce la somma
α + β = 180° - γ.
Mediante la formula di Nepero:
osservando che se nella (3) è a > b, risulta α > β e se fosse a < b, basterebbe cambiare segno ai due membri, si ricaverebbe
e quindi β - α, essendo noto il valore del secondo membro, con l'ausilio delle tavole logaritmico-trigonometriche si trova
e quindi
da cui
α - β.
Indicando tale valore con φ, si ha il sistema lineare
nelle incognite α, β, dal quale, sommando e sottraendo membro a membro, si ricavano i valori
A tal punto, per calcolare il terzo lato c, basta applicare il teorema dei seni; infatti, si ha:
Esempi
1)-Risolvere il triangolo avente i lati a = 25,48, b = 20, 32, e l'angolo compreso γ = 58° 47' 20''.
Si ha subito:
a - b = 5,16; a + b = 45,80; α + β = 121° 12' 40'',
Passando ai logaritmi, segue:
da cui risulta:
e quindi
α - β = 22° 37' 12''.
Si ha così il sistema
da cui risulta
α = 71° 54' 36'', β = 49° 17' 44''.
Applicando ora la formula (4), risulta:
Passando ai logaritmi, segue:
Pertanto
c = 22,93.
2)-Risolvere il triangolo avente i lati b = 370,7, c = 430,5 e l'angolo compreso α = 36° 40' 26''.
Si ha subito:
b - c = -59,8; b + c = 801,2; β + γ = 143° 19' 34'',
e quindi
oppure
Passando ai logaritmi, segue:
da cui risulta
quindi
da cui risulta
β = 58° 58' 20'', γ = 84° 21' 14''.
Per determinare a, basta applicare il teorema dei seni; si ha:
Passando ai logaritmi, segue:
pertanto
a = 258,4.
Nota bene
Nel caso in cui sia b = a, dalla (3) segue β = α; inoltre, essendo α + β = 180° - γ, si ha 2α = 180° - γ, e cioè:
come è evidente geometricamente, in quanto il triangolo è isoscele.
Essendo in tal caso φ = 0, dalla (4) si ha:
come si può facilmente verificare.
Infatti, abbassando dal vertice C la perpendicolare CH sulla base AB, si ottiene:
cioè
4° caso
-risoluzione di un triangolo qualsiasi, conoscendo due lati e l'angolo opposto ad uno di essi.
Indicati con a, b, α gli elementi noti del triangolo, poichè si conosce la coppia degli elementi corrispondenti a ed α, applicando il teorema dei seni, risulta:
Da questa formula si trova β, e poi γ dalla relazione
(6) γ = 180° - (α + β).
Applicando ancora il teorema dei seni, si determina
Discussione
Il
caso in questione sembra più semplice dei primi tre trattati, però è necessaria un'intensa discussione.
Infatti, affinchè la (5) si possa utilizzare per determinare l'angolo β, è necessario che il secondo membro risulti non superiore all'unità, cioè:
bsenα ≤ a
e, successivamente, che sia
α + β < 180°,
affinchè anche la (6) abbia un significato.
Possono presentarsi diversi casi:
poichè il seno di un angolo non può superare l'unità, si può dire che se bsenα > a, non esiste un triangolo che soddisfa le condizioni poste.
si ha β = 90° e di conseguenza, affinchè sia soddisfatta l'ulteriore condizione α + β < 180°, occorre che l'angolo α sia acuto. Si conclude che, quando fra i dati sussiste la relazione bsenα = a, esiste solo un triangolo che soddisfa le condizioni poste, purchè risulti α acuto ed in tal caso il triangolo è rettangolo con β = 90°.
esistono due angoli β1, β2, tra loro supplementari, che soddisfano la condizione bsenα < a; in corrispondenza si trovano due angoli γ1, γ2, dati dalle relazioni
γ1 = 180° - (α + β1), γ2 = 180° - (α + β2),
e quindi esistono massimo due triangoli corrispondenti alle terne di elementi
(α, β1, γ1), (α, β2, γ2)
che soddisfano le condizioni del problema.
Per
completare la discussione, si vede ora nel caso c), quando esistono
effettivamente dei triangoli con i dati di partenza (a, b, α).
Allo scopo, si indicano con β1 l'angolo acuto e con β2 l'angolo ottuso definiti dalla relazione
Se risulta:
α + β1 ≥ 180°, a maggior ragione è anche α + β2 ≥ 180° e quindi non esiste nessun triangolo soddisfacente i dati del problema;
α + β1 < 180°, ma α + β2 > 180°, esiste un solo triangolo corrispondente alla terna (α, β1, γ1) soddisfacente il problema (*);
α + β2 < 180° e quindi maggior ragione è anche α + β1 < 180° e quindi esistono due triangoli corrispondenti alle terne di elementi
(α, β1, γ1), (α, β2, γ2),
che soddisfano il problema.
Nota bene
(*) Ciò perchè α > β1. Infatti, da α + β2 > 180°, segue α + 180° - β1 > 180°, cioè α - β1> 0.
E' interessante vedere come i precedenti risultati si possono ottenere geometricamente.
Allo scopo, nell'ipotesi che i dati permettano di costruire effettivamente in triangolo, si indicano con a, b, α i soliti dati e si considera un angolo di vertice A, e sul lato s, si stacca un segmento
Il
triangolo da costruire risulta determinato se si riesce ad individuare
sul lato r un punto B, tale che la distanza CB sia uguale ad a.
Come è noto, il luogo geometrico dei punti del piano aventi da
un punto fisso una distanza assegnata è una circonferenza,
quindi si può affermare che il punto B, oltre che sul lato r,
si trova sulla circonferenza di centro C e raggio a. Segue che esistono
due triangoli con gli elementi, a, b, α assegnati, se la semiretta r e la circonferenza di centro C e raggio a hanno punti in comune. In tali ipotesi, dette B1 e B2 le intersezionI, i due triangoli ACB1, ACB2 soddisfano le condizioni date e si vede che i due angoli
sono supplementari.
Affinchè
il lato r incontri la circonferenza suddetta, occorre però che
la distanza CH di r dal centro C sia minore del raggio a, cioè
che sia inoltre dal triangolo rettangolo CHA risulta e quindi per l'esistenza dei triangoli, intanto dev'essere
bsenα ≤ a.
Si esamina ora il caso in cui bsenα
= a. In tale ipotesi la distanza CH è uguale al raggio, e quindi
r risulta tangente alla circonferenza. Si ha allora un solo punto B di
contatto e perciò un solo triangolo, rettangolo in B.
Affinchè
tale triangolo esista effettivamente, occorre però che la
semiretta r tocchi la circonferenza in un punto, pertanto è
necessario che l'angolo α sia acuto. Infatti, se fosse ottuso, il punto B, proiezione di C su r, cadrebbe sul prolungamento di r.
Si considera ora il caso generale bsenα <a. In tale ipotesi la retta r incontra sempre la circonferenza nei punti B1 e B2 ai quali corrispondono due triangoli aventi come elementi a, b, α quelli assegnati, purchè B1 e B2 appartengano al lato r dell'angolo α.
Se
l'angolo è acuto, uno dei due punti appartiene sempre al lato r
e quindi esiste almeno un triangolo soddisfacente le condizioni date.
Affinchè anche all'altro punto B2 corrisponda un triangolo, che risolva il problema, occorre che risulti
Ma risulta
da cui
mentre
e quindi esistono due triangoli soddisfacenti le condizioni assegnate se
bsenαctgβ < bcosα,
cioè
ctgβ < ctgα
e quindi
β > α.
Allora, dalla figura suddetta risulta b > a e perciò si può dire che se sono soddisfatte le due condizioni
bsenα < a, a < b,
si hanno le due soluzioni, mentre, se è soddisfatta solo la condizione bsenα < a, se ne ha una sola.
Nel caso in cui b = a, il triangolo ABC risulta isoscele sulla base
Se invece l'angolo α è retto, come risulta dalla figura seguente, esiste al massimo un solo triangolo, purchè sia b < a.
Se infine l'angolo α è ottuso,
come risulta dalla figura seguente, esiste al massimo un solo
triangolo che soddisfa le condizioni date, purchè risulti
a > b.
Concludendo:
Esempi
1)-Risolvere il triangolo, conoscendo a = 4, b = 8, α = 30°.
Si ha:
e quindi
β = 90°.
Risulta poi
γ = 60°
ed infine
come è evidente geometricamente dalla figura seguente.
Infatti,
si tratta di un triangolo rettangolo avente l'ipotenusa uguale ad 8 ed
un cateto metà dell'ipotenusa; allora, come è noto,
l'angolo minore è
di 30° e l'altro di 60°, mentre il cateto, essendo uguale
all'altezza del triangolo equilatero di lato 8, è:
2)-Risolvere il triangolo, conoscendo a = 8, b = 4, α = 120°.
Si ha:
Esiste quindi un solo triangolo.
Infatti, risulta
da cui
e perciòβ1 = 24° 25' 35'', β2 = 155° 34' 25'',
Segue
α + β1 = 144° 25' 35'', α + β2 = 275° 34' 25'',
da cui risulta evidente che esiste un solo triangolo individuato dal valore di β1.
Di conseguenza, si ha:
γ1 = 180° - 44° 25' 35'' = 35° 34' 25'',
logc = log16 + logsenγ1 - logsenα = 1,05652,
c = 5,37.
3)-Risolvere il triangolo, conoscendo a = 4, b = 6, α = 30°.
Poichè in questo caso sono soddisfatte le due condizioni
bsenα < a < b,
esistono due triangoli soddisfacenti il problema.
Infatti, si ha:
e quindi
infine dalla formula
applicando i logaritmi
c1 = 7,85, c2 = 2,55.