Teorema di Bienaymé-Cebicev >>segue>
<indice<<

I-J. Bienaymé era uno Statistico, ispettore generale delle Finanze, che applicava la teoria delle probabilità al calcolo finanziario. Tradusse lavori sulla probabilità del matematico russo e amico P.L. Cebicev. Entrò all'Académie des sciences nel 1852 e i suoi studi riguardavano in particolare la legge dei grandi numeri e la celebre diseguaglianza relativa a una variabile aleatoria X, di speranza matematica m e scarto quadratico medio s :
" k >0, p(m - k·s < X < m + k·s) ³ 1 - 1/k2

Applicata a X = X1 +X2 + ...+Xn , dove le Xi sono variabili di Bernoulli indipendenti, che verificano la stessa legge di probabilità:

p(Xi = 1) = p  e  p(Xi = 0) = q = 1 - p     con i= 1, 2, ..., n

permette di dimostrare la legge debole dei grandi numeri di Jacques Bernoulli:

Poichè per la v.a. binomiale si ha :

M(X) = n·p e s2 = V(X) = n·p·q

allora:

" e >0, P( | X/n - p | < e ) ³ 1 - pq/ne2

Ovvero: per quanto piccolo sia e, la probabilità che X/n sia uguale p con approssimazione a meno di ε tende a 1 per n che tende a infinito: si ottiene la legge debole dei grandi numeri.

pagine a cura di Roberto Ricci Liceo S. "A.Righi" Bologna. Ultima revisione