Max_Rett_In

Un problema che si incontra spesso tra gli esercizi di ricerca sui massimi geometrici. Lo risolveremo in un modo in un modo forse non molto rapido ma che si presta ad ulteriori sviluppi ed estensioni.

Dato il triangolo acutangolo ABC e il rettangolo DEFG inscritto determinare, se esiste, il massimo del rapporto tra l’area del rettangolo inscritto e l’area del triangolo dato:

Tracciamo l’altezza CH ed osserviamo che i triangoli CGK , GAD sono tra loro simili e simili al triangolo CAH. La stessa cosa accade per i triangoli rettangolo posti dall’altre parte dell’altezza cioè CFK e FBE sono tra loro simili e simili al triangolo CBH. Queste similitudini sono tutte esprimibili mediante due rapporti di similitudine

Con questi rapporti si possono esprimere tutte le aree di questi triangoli

dunque

Il problema diventa la ricerca del massimo condizionato

quindi poniamo

da cui

il massimo si ha quando il quadrato è nullo

Sviluppiamo il problema inserendo due rettangoli inscritti e cercando di nuovo il massimo del rapporto tra la somma delle aree dei due rettangoli e l'area del triangolo dato.

Possiamo procedere in modo analogo al precedente definendo tre rapporti di similitudine

arrivando al massimo condizionato

adesso poniamo

e si ottiene

e il massimo si ottiene quando i tre quadrati sono tutti nulli cioè quando

Adesso se generalizziamo al caso di n rettangoli inscritti si ottiene

e la funzione ha un massimo quando

Il massimo vale

Ovviamente quando il numero dei rettangoli tende all'infinito il massimo tende a 1 cioè la somma delle aree dei rettangoli inscritti corrisponde all'area del triangolo che li contiene.

Per quanto riguarda la ricerca del massimo è opportuno ricordare una identità algebrica che nel nostro caso si dimostra particolarmente utile. Dall'identità

si deduce che

e vale l'uguaglianza nel caso

nel nostro caso

quindi