Modello primario d'induttanza.

Esso si realizza avvolgendo il filo di rame su un supporto di materiale isolante (marmo), stabile nel tempo e nella temperatura ed avente $\mu_{r}=1$. Il campione primario è noto se sono note le caratteristiche geometriche, infatti $L$ dipende dalla geometria dell'avvolgimento e del circuito magnetico che la realizza. Viene utilizzato il marmo poiché sopporta meglio gli sforzi di trazione, mentre si utilizza la ceramica quando la tensione d'esercizio è più elevata. I pregi del marmo sono:

• indeformabilità;
• coefficiente di dilatazione termica pari a $4\cdot10^{-6}°C^{-1}$;
• economicità;
• elevata resistenza elettrica;
• $\mu_{r}\approx1$.

La sezione primaria è costituita da un solo strato in quanto, disponendo più strati, ci si allontana dalla conoscenza delle caratteristiche geometriche e del baricentro dell'oggetto. Si hanno le seguenti relazioni:

$$r=2.95h$$

$r$	raggio del nucleo di sostegno; $h$

$$L=2.459N^{2}\cdot10^{-6}H$$

$$\tau=\frac{L}{R}=12h^{2}$$

I campioni di lavoro d'induttanza permettono di simulare l'induttanza nei circuiti elettrici o elettronici, occupando spazi ridotti nel circuito stesso. Un esempio di campione d'induttanza realizzato con componenti elettronici è il seguente:

Figure: Circuito per la simulazione dell'induttanza.

Si considera l'amplificatore operazionale ideale. Dall'analisi del circuito si ha:

$$V_{-}=V_{+}=V_{i}$$

a causa del cortocircuito virtuale tra il terminale invertente e non invertente, si ha:

$$I_{1}=\frac{V_{i}}{R_{1}}$$

questa corrente non può scorrere verso l'interno dell'operazionale tramite il terminale invertente a causa delle ipotesi fatte sull'amplificatore, essa dovrà per forza di cose scorrere anche in $R_{2}$, si ha dunque:

$$V_{2}=I_{1}R_{2}$$

con lo stesso verso della $V_{i}$. La tensione in uscita (tra terminale d'uscita e la massa) è:

$$V_{i}+I_{1}R_{2}-V_{o}=0$$

dalla quale:

$$V_{o}=I_{1}R_{2}V_{i}$$

ed ancora conoscendo la $I_{1}$, si ha:

$$V_{o}=\frac{V_{i}}{R_{1}}R_{2}+V_{i}=V_{i}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}+1\right)$$

la conoscenza della tensione d'uscita permette di scrivere:

$$V_{i}-V_{o}-I_{C}\frac{1}{sC}=0$$

cioè:

$$I_{C}=-sC\left(V_{o}-V_{i}\right)=-sCV_{i}\frac{R_{2}}{R_{1}}$$

la corrente $I_{C}$ è quella che viene generata dal generatore $V_{i}$ e quindi si può scrivere:

$$Z=\frac{V_{i}}{I_{C}}=-\frac{R_{1}}{sCR_{2}}$$

ponendo:

$$s=j\omega$$

si ottiene:

$$Z=\frac{R_{1}}{-j\omega CR_{2}}=j\frac{R_{1}}{\omega CR_{2}}$$

Si può realizzare anche un secondo schema del tipo:

Figure: Schema circuitale per la simulazione dell'induttanza.

Al solito si considera l'operazionale ideale e si scrive:

$$V_{+}=V_{i}$$

a causa del cortocircuito virtuale si ha:

$$V_{-}=V_{+}=V_{i}$$

$$V_{o}=V_{i}$$

vengono così a crearsi due maglie:

$$\left[E_{s}\right]=\left(\begin{array}{c} V_{i}\\ -V_{i}\end{arr... ...ht)\qquad\left[I\right]=\left(\begin{array}{c} I_{1}\\ I_{2}\end{array}\right)$$

la cui soluzione è:

$$\left(\begin{array}{c} I_{1}\\ I_{2}\end{array}\right)=\left(\be... ...\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} V_{i}\\ -V_{i}\end{array}\right)$$

dalla quale essendo $R_{1}=R_{2}=R$, si ha:

$$\left(\begin{array}{c} I_{1}\\ I_{2}\end{array}\right)=\left(\be... ...\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} V_{i}\\ -V_{i}\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} I_{1}\\ I_{2}\end{array}\right)=\frac{1}{... ... & 2R\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} V_{i}\\ -V_{i}\end{array}\right)$$

$$I_{1}=V_{i}\frac{1}{sCR^{2}+2R}$$

$$I_{2}=-V_{i}\frac{sC}{sCR+2}$$

la corrente erogata dal generatore è pari ad $I_{1}$:

$$z=\frac{V_{i}}{I_{1}}=R\left(sCR+2\right)$$

ponendo:

$$s=-j\omega$$

si ha:

$$\overline{Z}=R\left(j\omega CR+2\right)=R_{eq}+j\omega L_{eq}$$

dove:

$$L_{eq}=CR^{2}$$

$$R_{eq}=2R^{2}$$

Per realizzare un campione di lavoro d'induttanza si devono compiere i seguenti passi:

• scelta dello schema che fa più comodo;
• dimensionamento del circuito : cioè si realizza una $L_{eq}$ poichè a parità di questo parametro si possono avere diversi $Q$.

Il fattore di merito tiene conto della bontà dell'oggetto: tanto più è alto quanto più la corrente sarà in quadratura. Ad esempio, a parità di $L_{eq}$, con $Q_{1}=100$ e $Q_{2}=1000$ si hanno diverse costanti di tempo cioè il $\Delta t$ che impiega il circuito a divenire induttivo.