Teoria macroscopica BCS.

La conduzione elettrica in un conduttore metallico è dovuta agli elettroni che occupano livelli energetici più elevati appartenenti, cioè, alle orbite di valenza secondo Bohr. Questi elettroni possono distaccarsi dagli atomi a cui appartengono, mentre quest'ultimi, divenuti ioni, restano bloccati ai vertici del reticolo cristallino. In assenza di campo elettrico esterno, gli elettroni liberi si muovono disordinatamente in tutte le direzioni, come le molecole di un gas e costituiscono pertanto un gas elettronico. Allo zero assoluto, nel cosidetto stato fondamentale del sistema, gli elettroni liberi possono occupare livelli energetici non superiori ad un livello limite detto livello od energia di Fermi. A loro volta le oscillazioni degli ioni sono tanto più intense quanto più è caldo il conduttore. Tali vibrazioni corrispondono ad emissioni di fononi in numero crescente con la temperatura. Se però il conduttore, che gode di particolari proprietà, è portato ad una temperatura così bassa da rendere trascurabile il numero di fononi termici, insieme con gli elettroni liberi possono anche coesistere, senza interagire con essi, le coppie di Cooper^2.2. Queste coppie di Cooper sono sistemi costituiti da due elettroni di conduzione con quantità di moto e spin uguali ed opposti accoppiati tra di loro con un debole legame. Ogni coppia agisce come un'unica particella dotata di carica e massa doppie di quelle dell'elettrone e con spin nullo.

La teoria BCS ha dimostrato che la superconduttività è dovuta alle coppie di Cooper, ha individuato il processo di formazione delle coppie nell'interazione indiretta tra due elettroni con scambio di un fonone (o vibrazione reticolare) virtuale, cioè attraverso la mediazione del reticolo cristallino.

L'interazione fonone-elettrone deve essere sufficientemente forte: è questa, insieme alla temeperatura estremamente bassa, una delle condizioni indispensabili per la formazione di un numero di coppie idoneo al manifestarsi della superconduttività. Esaminando il fenomeno secondo lo schema dei livelli energetici degli elettroni, il meccanismo di formazione delle coppie, implica che queste occupino tutte uno stesso livello o stato quantico collocato sopra il livello di Fermi e rappresentante, allo zero assoluto, il loro ``stato fondamentale''.

In assenza di campo elettrico esterno, ragioni di simmetria impongono che le coppie non siano in movimento, cioè che lo spin e la quantità di moto comuni delle coppie siano nulli. In questo modo si spiega il perché i due elettroni della coppia devono avere spin e quantità di moto uguali ma opposte. Le onde associate alle coppie hanno dunque non solo stessa lunghezza d'onda, ma anche la stessa fase. L'insieme delle coppie di Cooper, contrariamente al gas elettronico, presenta uno stato d'ordine per cui l'unica funzione d'onda che le caratterizza prende il nome di parametro d'ordine.

In assenza di campo elettrico esterno, in un superconduttore possono dunque essere presenti due differenti fluidi elettronici compenetranti l'un l'altro senza interazioni mutue: un fluido normale costituito dal gas di elettroni liberi ed un superfluido costituito dalle coppie di Cooper. A temperature superiori a quelle di transizione è consentito solo il normale fluido elettronico ed il superconduttore si trova in stato di conduzione normale, mentre a temperature inferiori è nello stato di superconduzione, caratterizzato dalla presenza del superfluido, in misura tanto maggiore quanto più la temperatura scende, fino a che, allo zero assoluto, il fluido normale sparisce del tutto.

L'applicazione dall'esterno di un campo elettrico produce un movimento ordinato dei due fluidi elettronici, dando luogo rispettivamente ad una corrente normale e ad una supercorrente.

La corrente normale è costituita dal moto di elettroni liberi, che si sovrappone al movimento disordinato di origine termica. Il rumore termico (rumore Johnson) in un conduttore normale è da imputare alla continua agitazione termica dei portatori di carica liberi che provoca fluttuazioni aleatorie indesiderate sovrapposte al moto ordinato imposto dall'esterno con il campo elettrico. Il moto ordinato degli elettroni avviene con dissipazioni di energia a causa di:

• collisioni con gli ioni in vibrazione ossia con i relativi fononi termici;
• collisione con gli atomi di impurezze e con le imperfezioni del reticolo cristallino.

La corrente normale è ostacolata in misura proporzionale ad una resistività caratteristica di ogni materiale. Quando la temperatura diminuisce si riduce il numero di fotoni termici presenti: la resistività ideale che dipende da essi si annulla allo zero assoluto. La resistività residua è indipendente dalla temperatura.

Figure: Andamento della resistività, per alcuni materiali, in funzione della temperatura assoluta.

Nella supercorrente il moto delle coppie attraverso il reticolo avviene in modo concorde per mantenere il loro stato d'ordine: le coppie devono spostarsi tutte con lo stesso momento angolare e la stessa quantità di moto baricentrico, per cui ogni coppia è vincolata al moto di tutte le altre. Il superconduttore, in genere, non ha un buon funzionamento a temperature normali, ma manifesta le sue qualità per temperature superiori a quella critica: da questo si comprende la ricerca di temperature critiche vicine alla temperatura ambiente. Durante la superconduzione il moto delle coppie avviene senza dissipazione di energia poiché nessuna coppia può singolarmente essere coinvolta in processi di diffusione con imperfezioni cristalline chimiche e fisiche. Se non esiste dissipazione di energia tra punto e punto della supercorrente, non esiste differenza di fase tra onda ed onda: le funzioni d'onda restano tutte in fase per cui le coppie possono essere ancora rappresentate mediante un'unica funzione. Tutte le proprietà della supercorrente sono conseguenza di questo moto collettivo coerente senza dissipazione di energia delle coppie di Cooper agganciati in fase. Con un campo elettrico esterno applicato, un superconduttore si comporta come un conduttore normale finchè la sua temperatura resta al di sopra di quella critica: essendo percorso dalla sola corrente normale, esso presenta una resistività finita, anzi questa risulta di valore piuttosto elevato a temperatura ambiente. A partire dalla temperatura di transizione si forma bruscamente la supercorrente mentre viene praticamente annullata la corrente normale. La giunzione di un superconduttore ad effetto Josephson è schematizzabile in figura .

Figure: Giunzione Josephson.

La sua caratteristica esterna è rappresentata dalla seguente figura:

Figure:

L'effetto Josephson si forma dalla giunzione di due strati superconduttori separati da un sottilissimo strato isolante dell'ordine dei $nm$. Alle temperature criogeniche, accanto agli elettroni liberi che si formano un gas elettronico disordinato, esistono le coppie di Cooper nelle quali i due elettroni che le compongono hanno spin e quantità di moto uguali ed opposte. Tali coppie vanno a formare, come già detto, un superfluido ordinato che non interagisce con il fluido elettronico. Queste coppie di Cooper, al di sotto di una temperatura $T_{C}$ di transizione detta critica, possono dar luogo ad una supercorrente che scorre senza dissipazione di energia. Alimentando la giunzione con un generatore ideale di corrente continua, lo strato isolante può essere attraversato da una supercorrente che non dà luogo a caduta di tensione ma che non deve superare un valore critico $I_{C}$. Se questa corrente viene superata, si instaura una caduta di tensione $\Delta V$ e si nota, sovrapposta alla corrente continua, una supercorrente alternata di frequenza $\nu$ che irradia energia per compensare la differenza di energia potenziale delle coppie di Cooper:

$$\Delta W=2e\Delta V=\hbar\nu$$

la quale è indipendente dalle dimensioni e dal tipo della giunzione. Irradiando la giunzione con una radiazione di frequenza $\nu$, la caratteristica tensione-corrente continua si presenta crescente in modo discontinuo, con gradini di corrente dell'ordine delle decine di $\mu A$ in corrispondenza a multipli interi della caduta di tensione:

$$\Delta V=\frac{\hbar\nu}{2e}$$

Questo salto di tensione è preso come campione di riferimento: in pratica si sfrutta l'effetto Josephson per la taratura della pila campione Weston che genera un f.e.m. di riferimento dell'ordine di $1V$.