Altro su perimetri e superfici di solidi

Questa pagina è la continuazione della prima pagina sui perimetri e le superfici dei solidi; per capirla dovete leggere quella precedente. In questa tratto casi più specifici.

Figure piane
Triangolo equilatero
 Il triangolo equilatero è un triangolo che ha tutti i lati della stessa lunghezza.
p=a+a+a
p=1a+1a+1a
p=(1+1+1)a
p=3a
 p=3a
 Settore circolare
 Il settore circolare è una parte di un cerchio delimitata da 2 raggi e da una parte della circonferenza, detta arco (di cerchio).
Il perimetro del settore circolare e la somma delle lunghezze dei raggi e dell' arco. Ma come si calcola l' arco? Basta prendere la lunghezza della circonferenza, dividerla col numero di gradi o radianti presenti in un' angolo giro e moltiplicare col numero di gradi o radianti dell' angolo presente nel settore circolare (è chiaro che è giusto).
Quindi se chiamiamo il perimetro p, il raggio r e l' angolo presente nel settore circolare a, possiamo scrivere
p=r+r+2r/(360°)*a (a espresso in gradi)
p=1r+1r+2r/(360°)*a
p=r(1+1+2/(360°)*a)
p=r(1*2+2/(360°)*a)
p=2r(1+/(360°)*a)
 p=2r(1+/(360°)*a) (a espresso in gradi)
 oppure
p=2r(1+/(2)*a)
p=2r(1+/2/*a)
p=2r(1+(1/2)(1/)*a)
p=2r(1+(/)(1/2)a)
p=2r(1+1(1/2)a)
p=2r(1+a(1/2))
p=2r(1+a/2)
 p=2r(1+a/2) (a espresso in radianti)
Solidi
 Prisma retto avente come base un triangolo
 La superficie del prisma retto si calcola secondo la formula S=ph+2s; ma se chiamiamo la superficie S, l' altezza h e a e h1 la base e l' altezza del triangolo che fa da superficie di base al nostro prisma, siccome il suo perimetro è uguale ad a+b+c e la sua area è uguale ad ah1/2, possiamo scrivere:
S=(a+b+c)h+2ah1/2
S=(a+b+c)h+2ah1(1/2)
S=(a+b+c)h+(2/2)ah1
S=(a+b+c)h+1ah1
S=(a+b+c)h+ah1
 S=(a+b+c)h+ah1
 Prisma retto avente come base un cerchio - cilindro retto
Il disegno sotto rappresenta le figure che ricoprono un cilindro retto.
La superficie del prisma retto si calcola secondo la formula S=ph+2s; ma se chiamiamo la superficie S, l' altezza h e r il raggio del cerchio che fa da superficie di base al nostro prisma, siccome il suo perimetro è uguale a 2r e la sua area è uguale ad r2, possiamo scrivere:
S=2rh+2r2
S=2rh+2rr
S=2r(h+r)
 S=2r(h+r)
 Nota: se siamo formali, il cilindro non può essere considerato propriamente un prisma, ma questa è un' approssimazione che a scuola si può fare.
Piramide retta avente come base un rettangolo
 La superficie della piramide retta si calcola secondo la formula S=(a1h1+a2h2+...+anhn)/2+s; ma se chiamiamo la superficie S, le 2 diverse altezze dei triangoli laterali h1 ed h2 e a e b i lati del rettangolo che fa da superficie di base alla nostra piramide, siccome la sua area è uguale ad ab, inoltre (per il teorema di Pitagora - guardate la figura) h1=(h2+(b/2)2) ed h2=(h2+(a/2)2) (e con un po' di calcoli h1=(h2+b2/4) e h2=(h2+a2/4)) possiamo scrivere:
S=ah1/2+bh2/2+ah1/2+bh2/2+ab
S=1ah1/2+1ah1/2+1bh2/2+1bh2/2+ab
S=(1+1)ah1/2+(1+1)bh2/2+ab
S=2(1/2)ah1+2(1/2)bh2+ab
S=(2/2)ah1+(2/2)bh2+ab
S=1ah1+1bh2+ab
S=ah1+bh2+ab
S=a(h2+b2/4)+b(h2+a2/4)+ab
 S=a(h2+b2/4)+b(h2+a2/4)+ab
Piramide retta avente come base un cerchio - cono retto
Il disegno sotto rappresenta le figure che ricoprono un cono retto.
La superficie della piramide retta si calcola secondo la formula S=(a1h1+a2h2+...+anhn)/2+s; qui in realtà non abbiamo triangoli, ma un settore circolare, la cui area si può però calcolare come quella di un triangolo che ha la base uguale all' arco e l' altezza uguale al raggio; se chiamiamo la superficie S, l' altezza h e r il raggio del cerchio che fa da superficie di base alla nostra piramide, siccome il suo perimetro (che misura quanto l' arco) è uguale a 2r e la sua area è uguale ad r2 e q=(r2+h2) (per il teorema di Pitagora), possiamo scrivere:
S=2rq/2+r2
S=2r(r2+h2)/2+r2
S=2(1/2)r(r2+h2)+rr
S=r((2/2)(r2+h2)+r)
S=r(1(r2+h2)+r)
S=r((r2+h2)+r)
 S=r((r2+h2)+r)
 Nota: se siamo formali, il cono non può essere considerato propriamente una piramide, ma questa è un' approssimazione che a scuola si può fare.

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