MIKY & GENNY
SFERA ---> INDICE
Definizione
- La sfera è il luogo geometrico dei punti dello spazio aventi
la stessa distanza, uguale al raggio, da un punto dato detto
centro.
Si ricava l'equazione della sfera dalla sua definizione.
Sia C(α, β, γ) il centro della sfera ed r il raggio; se P(x, y, z) è un suo punto, risulta:
cioè
(1) (x - α)2 + (y - β)2 + (z - γ)2 = r2.
Sviluppando e ordinando, si ottiene:
x2 + y2 + z2 - 2αx - 2βy - 2γz + (α2 + β2 + γ2 - r2) = 0;
posto α2 + β2 + γ2 - r2 = δ, l'equazione diventa:
(2) x2 + y2 + z2 - 2αx - 2βy - 2γz + δ = 0.
La (2) è soddisfatta dalle coordinate di tutti i punti della sfera; viceversa, se le coordinate di un punto dello spazio soddisfano la (2), il punto ha distanza uguale a r da C, e perciò appartiene alla sfera. Si può, dunque, affermare che l'equazione (2) rappresenta l'equazione della sfera di centro C(α, β, γ) e raggio r.
Esempio
-Determinare l'equazione della sfera di centro C(1, 1, 1) e raggio r = 3.
Applicando la (1), si ha:
(x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 32.
Sviluppando e ordinando, si ha:
x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z + (12 + 12 + 12 - 32) = 0;
cioè
x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z - 6 = 0.
Se si esamina l'equazione:
(1) (x - α)2 + (y - β)2 + (z - γ)2 = r2,
si rilevano le seguenti caratteristiche:
1)-essa è un'equazione di secondo grado nelle variabili x, y e z,
2)-i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali, e si possono sempre ridurre all'unità dividendo l'equazione per tale coefficiente, supposto diverso da zero,
3)-l'equazione manca dei termini rettangolari xy, xz e yz,
4)-i coefficienti α, β, γ, δ sono tali che:
α2 + β2 + γ2 - δ = r2 > 0.
Viceversa, qualsiasi equazione del tipo:
(3) x2 + y2 + z2 + αx + by + cz + d = 0,
cioè qualsiasi equazione di secondo grado nelle variabili x, y, z, avente i coefficienti di x2, y2 e z2, uguali fra loro e priva dei termini rettangolari xy, yz, az, rappresenta una sfera.
L'equazione (3) si può scrivere:
essa rappresenta la sfera che ha il centro nel punto
e raggio
Per quanto detto, si può concludere che:
-data l'equazione di una sfera, le coordinate del centro sono date dai semicoefficienti dei termini di primo grado cambiati di segno, ed il raggio è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate del centro diminuiti del termine noto.
Esempio
-Determinare le coordinate del centro ed il raggio della sfera di equazione:
x2 + y2 + z2 - 4x + 8by - 2z - 4 = 0.
Si ha:
Si ricava l'equazione della sfera dalla sua definizione.
Sia C(α, β, γ) il centro della sfera ed r il raggio; se P(x, y, z) è un suo punto, risulta:
cioè
Sviluppando e ordinando, si ottiene:
x2 + y2 + z2 - 2αx - 2βy - 2γz + (α2 + β2 + γ2 - r2) = 0;
posto α2 + β2 + γ2 - r2 = δ, l'equazione diventa:
(2) x2 + y2 + z2 - 2αx - 2βy - 2γz + δ = 0.
La (2) è soddisfatta dalle coordinate di tutti i punti della sfera; viceversa, se le coordinate di un punto dello spazio soddisfano la (2), il punto ha distanza uguale a r da C, e perciò appartiene alla sfera. Si può, dunque, affermare che l'equazione (2) rappresenta l'equazione della sfera di centro C(α, β, γ) e raggio r.
Esempio
-Determinare l'equazione della sfera di centro C(1, 1, 1) e raggio r = 3.
Applicando la (1), si ha:
Sviluppando e ordinando, si ha:
cioè
Se si esamina l'equazione:
(1) (x - α)2 + (y - β)2 + (z - γ)2 = r2,
si rilevano le seguenti caratteristiche:
1)-essa è un'equazione di secondo grado nelle variabili x, y e z,
2)-i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali, e si possono sempre ridurre all'unità dividendo l'equazione per tale coefficiente, supposto diverso da zero,
3)-l'equazione manca dei termini rettangolari xy, xz e yz,
4)-i coefficienti α, β, γ, δ sono tali che:
Viceversa, qualsiasi equazione del tipo:
cioè qualsiasi equazione di secondo grado nelle variabili x, y, z, avente i coefficienti di x2, y2 e z2, uguali fra loro e priva dei termini rettangolari xy, yz, az, rappresenta una sfera.
L'equazione (3) si può scrivere:
essa rappresenta la sfera che ha il centro nel punto
e raggio
Per quanto detto, si può concludere che:
-data l'equazione di una sfera, le coordinate del centro sono date dai semicoefficienti dei termini di primo grado cambiati di segno, ed il raggio è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate del centro diminuiti del termine noto.
Esempio
-Determinare le coordinate del centro ed il raggio della sfera di equazione:
x2 + y2 + z2 - 4x + 8by - 2z - 4 = 0.
Si ha:
C(2, -4, 1)
e