MIKY & GENNY
DIEDRI, TRIEDRI E ANGOLOIDI ---> INDICE
Si è chiamato diedro ognuna delle parti in cui due piani che s'intersecano dividono lo spazio.
Si dà ora la definizione più in generale.
Definizione - Si chiama diedro una porzione di spazio limitata da due semipiani aventi la stessa origine.
Due semipiani α e β, aventi la stessa origine, dividono lo spazio in due parti; se i due semipiani non sono opposti, indicando con α' il semipiano opposto ad α e con β' il semipiano opposto a β, una delle due parti è formata dall'insieme dei punti comuni ai semispazi e l'altra dagli altri punti dello spazio. Entrambe le due parti si chiamano angoli diedri.
Si chiama diedro convesso quella parte costituita dai punti comuni ai due semispazi, diedro concavo l'altra parte.
Se due semipiani sono opposti, ognuna delle due parti in cui dividono lo spazio è un semispazio e si chiama diedro piatto.
I semipiani che limitano un diedro si chiamano facce del diedro; l'origine comune si chiama spigolo o costola.
Il diedro che ha per spigolo r o HK si indica:
dove A e B sono due punti qualsiasi appartenenti ciascuno ad una faccia.
Spesso il diedro di spigolo r o di facce α,β, si indica brevemente:
Due diedri si dicono:
-consecutivi se hanno una faccia comune e le altre due facce da bande opposte rispetto ad essa;
-adiacenti se sono consecutivi con le facce opposte su uno stesso piano;
-opposti allo spigolo se le facce di uno sono opposte alle facce dell'altro.
I quattro diedri che formano due piani che si intersecano sono a due a due adiacenti, a due a due opposti allo spigolo.
Definizione - Si dice sezione normale o rettilineo di un diedro, l'angolo delle due semirette secondo cui le facce di un diedro sono tagliate da un piano perpendicolare allo spigolo.
La sezione normale di un diedro è perciò l'angolo delle due semirette condotte da un punto dello spigolo perpendicolarmente ad esso in ciascuna delle due facce del diedro.
Teorema - In uno stesso diedro tutte le sezioni normali sono uguali.
Siano ABC e A'B'C' due sezioni normali di uno stesso diedro.Si deve dimostrare che esse sono uguali.
Infatti, le due sezioni normali hanno i lati paralleli e concordi, quindi per il teorema già dimostrato "Se due angoli hanno i lati paralleli e concordi, sono uguali", sono uguali.
Uguaglianza di diedri
In conformità alla definizione di uguaglianza delle figure, due diedri sono uguali quando è possibile sovrapporli punto per punto. Tuttavia, invece di ricorrere alla sovrapposizione, si può dedurre l'uguaglianza di due diedri da quella delle loro sezioni normali.
Teorema - Diedri uguali hanno sezioni normali uguali, e viceversa.
Infatti, se due diedri sono uguali, il movimento che trasforma l'uno nell'altro, sovrappone le loro sezioni normali, che perciò risultano uguali.
Viceversa, se le sezioni normali APB e A'P'B' di due diedri sono uguali, il movimento che fa coincidere le due sezioni normali A'P'B' e APB, farà coincidere anche gli spigoli, perchè il movimento trasforma rette e piani perpendicolari in rette e piani perpendicolari. Di conseguenza, coincideranno anche le facce e i punti interni di due diedri, i quali perciò risultano uguali.
In base alla corrispondenza fra diedri e angoli, loro sezioni normali, sia le definizioni come le proprietà dei diedri risultano perfettamente analoghe a quelle degli angoli.
Si dice somma di due diedri l'unico diedro che ha come sezione normale la somma delle sezioni normali dei diedri dati.
Due diedri si dicono supplementari quando la loro somma è un diedro piatto.
Un diedro si dice:
-retto quando è metà di un diedro piatto;
-acuto quando è minore di un diedro retto;
-ottuso quando è maggiore di un diedro retto.
Due diedri si dicono complementari quando la loro somma è un diedro retto.
Si ha:
-tutti i diedri piatti sono uguali;
-diedri adiacenti sono supplementari;
-diedri opposti allo spigolo sono uguali;
-diedri supplementari, o complementari, diedri uguali sono uguali.
Applicando il criterio generale di proporzionalità si vede subito che due diedri stanno fra loro come le rispettive sezioni normali.
Di conseguenza, se si assume come unità di misura il diedro che ha per sezione normale l'unità di misura degli angoli, la misura di un diedro, ampiezza, è uguale a quella della sezione normale corrispondente. Così i diedri si misurano in gradi e in radianti.
Triedri
Definizione - Si dice triedro una porzione di spazio limitata da tre angoli con lo stesso vertice e in piani differenti tali che ognuno dei lati sia comune a due di essi.
Si considerano tre angoli aventi lo stesso vertice O e disposti in modo che ogni lato sia comune a due di essi:
Nella figura da essi individuata si possono considerare tre diedri convessi: uno con lo spigolo sulla retta OA e le facce che si adagiano sugli angoli
è il diedro 
gli altri due diedri sono 
La
porzione di spazio che appare racchiusa dai tre angoli dati, è
quella i cui punti appartengono contemporaneamente ai tre diedri sopra
considerati.
I tre angoli e la porzione di spazio da essi racchiusa è precisamente un triedro.
I tre angoli
che individuano un triedro, si dicono facce, il
loro vertice comune, vertice del triedro, i tre lati spigoli del
triedro; l'insieme delle facce superficie del triedro; i diedri formati
dai semipiani di due facce consecutive si dicono diedri del triedro.
L'insieme dei diedri e delle facce si dicono elementi del triedro.
Un diedro e una faccia si dicono opposti quando lo spigolo del diedro non contiene la faccia.
Due triedri si dicono opposti al vertice, quando gli spigoli dell'uno sono opposti a quello dell'altro.
Se O è il vertice, AO, OB, OC, oppure a, b, c, sono i tre spigoli di un triedro, questo si indica con:
Relazioni fra le facce di un triedro
Teorema - In un triedro una faccia è minore della somma delle altre due e maggiore della loro differenza.
Si dimostra dapprima che una faccia è minore della somma delle altre due.
Sia dato il triedro
Se una faccia è minore o uguale ad una
delle altre due è evidentemente minore della loro somma. Basta
quindi dimostrare il teorema per la faccia maggiore; sia questa la 
Si deve dimostrare che:
Infatti, nella faccia
si traccia la semiretta OD, tale che sia 
poichè essa è interna all'angolo 
taglierà il
segmento AB nel punto D. Preso allora sulla OC il punto C per cui OC =
OD e unito C con A e B, si osserva che i triangoli AOD e AOC
risultano uguali, perchè hanno OA in comune, OC = OD per
costruzione, l'angolo 
anche per coistruzione. Perciò
sarà AC = AD. d'altra parte, siccome nel triangolo ABC è
BC> BA - AC, sarà pure BC > BA - AD, cioè BC >
BD, ossia BD < BC.
Confrontando ora i due triangoli BOD e BOC, si nota che essi hanno OB in comune, OD = OC per costruzione, mentre, per la disuguaglianza precedente, il terzo lato BD del primo è minore del terzo lato BC del secondo, quindi la stessa uguaglianza sussisterà fra gli angoli opposti a questi lati, ossia:
Aggiungendo al primo membro della disuguaglianza l'angolo
e al secondo l'angolo 
risulta:
Si dimostra ora che ciascuna faccia è maggiore della differenza delle altre due. Basta dimostrare la proprietà per la faccia più piccola, in quanto per le altre risulta evidente.
Se
è tale faccia, poichè si è supposto che la
maggiore fosse basta togliere 
da ambo i membri della
disuguaglianza per avere:
ossia
E così è dimostrato il teorema.
Teorema - La somma delle facce di un triedro è minore di quattro retti.
Sia dato il diedro
Si deve dimostrare che:
Si considera il triedro
il cui spigolo a' è l'opposto di a, e si applica a questo il teorema precedente; si ha:
Aggiungendo ad ambo i membri
risulta:
Poichè ciascuna delle somme
è uguale a due retti, si conclude che
Criteri di uguaglianza dei diedri
In conformità alla definizione generale di uguaglianza, due triedri sono uguali quando è possibile trasformare l'uno nell'altro mediante un movimento.
Sono inversamente uguali se uno di essi può coincidere con il simmetrico dell'altro rispetto ad un piano. Tuttavia, per decidere se due triedri sono uguali, prescindendo dall'uguaglianza diretta o inversa, non è necessario ricorrere al movimento, nel caso si sappia che sussistono delle regole di uguaglianza fra alcuni loro elementi. Si hanno infatti i seguenti quattro criteri di uguaglianza dei triedri, di cui ci si limita solo all'enunciato.
Si può affermare che due triedri sono uguali, direttamente o inversamente, se hanno rispettivamente uguali:
1)-due facce e il diedro fra esse compreso; oppure
2)-una faccia e i due diedri adiacenti; oppure
3)-le tre facce; oppure
4)-i tre diedri.
Angoloidi
Definizione - Si dice angoloide, convesso, la porzione di spazio limitato da tre o più angoli con lo stesso vertice e in piani differenti e tali che ognuno dei lati sia comune a due di essi e il piano di ciascuno lasci tutti gli altri da una stessa banda.
Per chiarire questa definizione si considerano più angoli, per esempio cinque, uscenti da uno stesso vertice O e disposti in modo che un lato sia comune a due di essi;
e così via; si suppone inoltre che tutti gli angoli rimangano da una stessa parte rispetto al piano in cui giace uno di essi.
Nella figura così individuata si possono considerare tanti diedri convessi quanti sono i lati degli angoli, cinque nel caso specifico.
Uno ha per spigolo la retta OA e le facce adagiate sugli angoli
esso è il diedro 
gli altri sono 
ecc.Se si esamina la figura, si può
osservare che vi è una porzione di spazio che appare racchiusa
dai cinque angoli dati, precisamente quella i cui punti appartengono
contemporaneamente ai diedri considerati. Ad essa si dà il nome di
angoloide.
Più semirette OA, OB, OC..., aventi la stessa origine O, non giacenti nello stesso piano e tali che il piano di due consecutive di esse, stabilito un certo ordine, lasci da una stessa banda
tutte le altre, formano gli angoli
che individuano
un angoloide.
Gli angoli si dicono facce, il vertice comune vertice, i lati spigoli dell'angoloide, l'insieme delle facce superficie dell'angoloide.
Il diedro formato dai sermipiani di due facce consecutive si chiama diedro dell'angoloide.
L'insieme dei diedri e delle facce si chiamano elementi dell'angoloide.
Se l'angoloide è individuato da n semirette, da n facce e da n diedri, si chiama angoloide ennaedro; in particolare il triedro è un angoloide con tre facce, se le facce sono quattro, cinque... l'angoloide si chiama tetraedro, pentaedro...
Due angoloidi si dicono opposti al vertice quando gli spigoli dell'uno sono opposti a quelli dell'altro.
Un angoloide di vertice O e di spigoli OA, OB, OC... si indica con
Agli angoloidi si estendono i due teoremi riguardanti i triedri.
Teorema - In un angoloide una faccia è minore della somma di tutte le altre.
Teorema - In un angoloide la somma delle facce è minore di quattro retti.
Si dà ora la definizione più in generale.
Definizione - Si chiama diedro una porzione di spazio limitata da due semipiani aventi la stessa origine.
Due semipiani α e β, aventi la stessa origine, dividono lo spazio in due parti; se i due semipiani non sono opposti, indicando con α' il semipiano opposto ad α e con β' il semipiano opposto a β, una delle due parti è formata dall'insieme dei punti comuni ai semispazi e l'altra dagli altri punti dello spazio. Entrambe le due parti si chiamano angoli diedri.
Si chiama diedro convesso quella parte costituita dai punti comuni ai due semispazi, diedro concavo l'altra parte.
Se due semipiani sono opposti, ognuna delle due parti in cui dividono lo spazio è un semispazio e si chiama diedro piatto.
I semipiani che limitano un diedro si chiamano facce del diedro; l'origine comune si chiama spigolo o costola.
Il diedro che ha per spigolo r o HK si indica:
dove A e B sono due punti qualsiasi appartenenti ciascuno ad una faccia.
Spesso il diedro di spigolo r o di facce α,β, si indica brevemente:
Due diedri si dicono:
-consecutivi se hanno una faccia comune e le altre due facce da bande opposte rispetto ad essa;
-adiacenti se sono consecutivi con le facce opposte su uno stesso piano;
-opposti allo spigolo se le facce di uno sono opposte alle facce dell'altro.
I quattro diedri che formano due piani che si intersecano sono a due a due adiacenti, a due a due opposti allo spigolo.
Definizione - Si dice sezione normale o rettilineo di un diedro, l'angolo delle due semirette secondo cui le facce di un diedro sono tagliate da un piano perpendicolare allo spigolo.
La sezione normale di un diedro è perciò l'angolo delle due semirette condotte da un punto dello spigolo perpendicolarmente ad esso in ciascuna delle due facce del diedro.
Teorema - In uno stesso diedro tutte le sezioni normali sono uguali.
Siano ABC e A'B'C' due sezioni normali di uno stesso diedro.Si deve dimostrare che esse sono uguali.
Infatti, le due sezioni normali hanno i lati paralleli e concordi, quindi per il teorema già dimostrato "Se due angoli hanno i lati paralleli e concordi, sono uguali", sono uguali.
Uguaglianza di diedri
In conformità alla definizione di uguaglianza delle figure, due diedri sono uguali quando è possibile sovrapporli punto per punto. Tuttavia, invece di ricorrere alla sovrapposizione, si può dedurre l'uguaglianza di due diedri da quella delle loro sezioni normali.
Teorema - Diedri uguali hanno sezioni normali uguali, e viceversa.
Infatti, se due diedri sono uguali, il movimento che trasforma l'uno nell'altro, sovrappone le loro sezioni normali, che perciò risultano uguali.
Viceversa, se le sezioni normali APB e A'P'B' di due diedri sono uguali, il movimento che fa coincidere le due sezioni normali A'P'B' e APB, farà coincidere anche gli spigoli, perchè il movimento trasforma rette e piani perpendicolari in rette e piani perpendicolari. Di conseguenza, coincideranno anche le facce e i punti interni di due diedri, i quali perciò risultano uguali.
In base alla corrispondenza fra diedri e angoli, loro sezioni normali, sia le definizioni come le proprietà dei diedri risultano perfettamente analoghe a quelle degli angoli.
Si dice somma di due diedri l'unico diedro che ha come sezione normale la somma delle sezioni normali dei diedri dati.
Due diedri si dicono supplementari quando la loro somma è un diedro piatto.
Un diedro si dice:
-retto quando è metà di un diedro piatto;
-acuto quando è minore di un diedro retto;
-ottuso quando è maggiore di un diedro retto.
Due diedri si dicono complementari quando la loro somma è un diedro retto.
Si ha:
-tutti i diedri piatti sono uguali;
-diedri adiacenti sono supplementari;
-diedri opposti allo spigolo sono uguali;
-diedri supplementari, o complementari, diedri uguali sono uguali.
Applicando il criterio generale di proporzionalità si vede subito che due diedri stanno fra loro come le rispettive sezioni normali.
Di conseguenza, se si assume come unità di misura il diedro che ha per sezione normale l'unità di misura degli angoli, la misura di un diedro, ampiezza, è uguale a quella della sezione normale corrispondente. Così i diedri si misurano in gradi e in radianti.
Triedri
Definizione - Si dice triedro una porzione di spazio limitata da tre angoli con lo stesso vertice e in piani differenti tali che ognuno dei lati sia comune a due di essi.
Si considerano tre angoli aventi lo stesso vertice O e disposti in modo che ogni lato sia comune a due di essi:
Nella figura da essi individuata si possono considerare tre diedri convessi: uno con lo spigolo sulla retta OA e le facce che si adagiano sugli angoli
è il diedro gli altri due diedri sono I tre angoli e la porzione di spazio da essi racchiusa è precisamente un triedro.
I tre angoli
che individuano un triedro, si dicono facce, il
loro vertice comune, vertice del triedro, i tre lati spigoli del
triedro; l'insieme delle facce superficie del triedro; i diedri formati
dai semipiani di due facce consecutive si dicono diedri del triedro.L'insieme dei diedri e delle facce si dicono elementi del triedro.
Un diedro e una faccia si dicono opposti quando lo spigolo del diedro non contiene la faccia.
Due triedri si dicono opposti al vertice, quando gli spigoli dell'uno sono opposti a quello dell'altro.
Se O è il vertice, AO, OB, OC, oppure a, b, c, sono i tre spigoli di un triedro, questo si indica con:
Relazioni fra le facce di un triedro
Teorema - In un triedro una faccia è minore della somma delle altre due e maggiore della loro differenza.
Si dimostra dapprima che una faccia è minore della somma delle altre due.
Sia dato il triedro
Se una faccia è minore o uguale ad una
delle altre due è evidentemente minore della loro somma. Basta
quindi dimostrare il teorema per la faccia maggiore; sia questa la Si deve dimostrare che:
Infatti, nella faccia
si traccia la semiretta OD, tale che sia
poichè essa è interna all'angolo taglierà il
segmento AB nel punto D. Preso allora sulla OC il punto C per cui OC =
OD e unito C con A e B, si osserva che i triangoli AOD e AOC
risultano uguali, perchè hanno OA in comune, OC = OD per
costruzione, l'angolo anche per coistruzione. Perciò
sarà AC = AD. d'altra parte, siccome nel triangolo ABC è
BC> BA - AC, sarà pure BC > BA - AD, cioè BC >
BD, ossia BD < BC.Confrontando ora i due triangoli BOD e BOC, si nota che essi hanno OB in comune, OD = OC per costruzione, mentre, per la disuguaglianza precedente, il terzo lato BD del primo è minore del terzo lato BC del secondo, quindi la stessa uguaglianza sussisterà fra gli angoli opposti a questi lati, ossia:
Aggiungendo al primo membro della disuguaglianza l'angolo
e al secondo l'angolo risulta:
ovvero
Si dimostra ora che ciascuna faccia è maggiore della differenza delle altre due. Basta dimostrare la proprietà per la faccia più piccola, in quanto per le altre risulta evidente.
Se
è tale faccia, poichè si è supposto che la
maggiore fosse basta togliere da ambo i membri della
disuguaglianza per avere:ossia
E così è dimostrato il teorema.
Teorema - La somma delle facce di un triedro è minore di quattro retti.
Sia dato il diedro
Si deve dimostrare che:
Si considera il triedro
il cui spigolo a' è l'opposto di a, e si applica a questo il teorema precedente; si ha:Aggiungendo ad ambo i membri
risulta:
Poichè ciascuna delle somme
è uguale a due retti, si conclude che
Criteri di uguaglianza dei diedri
In conformità alla definizione generale di uguaglianza, due triedri sono uguali quando è possibile trasformare l'uno nell'altro mediante un movimento.
Sono inversamente uguali se uno di essi può coincidere con il simmetrico dell'altro rispetto ad un piano. Tuttavia, per decidere se due triedri sono uguali, prescindendo dall'uguaglianza diretta o inversa, non è necessario ricorrere al movimento, nel caso si sappia che sussistono delle regole di uguaglianza fra alcuni loro elementi. Si hanno infatti i seguenti quattro criteri di uguaglianza dei triedri, di cui ci si limita solo all'enunciato.
Si può affermare che due triedri sono uguali, direttamente o inversamente, se hanno rispettivamente uguali:
1)-due facce e il diedro fra esse compreso; oppure
2)-una faccia e i due diedri adiacenti; oppure
3)-le tre facce; oppure
4)-i tre diedri.
Angoloidi
Definizione - Si dice angoloide, convesso, la porzione di spazio limitato da tre o più angoli con lo stesso vertice e in piani differenti e tali che ognuno dei lati sia comune a due di essi e il piano di ciascuno lasci tutti gli altri da una stessa banda.
Per chiarire questa definizione si considerano più angoli, per esempio cinque, uscenti da uno stesso vertice O e disposti in modo che un lato sia comune a due di essi;
e così via; si suppone inoltre che tutti gli angoli rimangano da una stessa parte rispetto al piano in cui giace uno di essi.
Nella figura così individuata si possono considerare tanti diedri convessi quanti sono i lati degli angoli, cinque nel caso specifico.
Uno ha per spigolo la retta OA e le facce adagiate sugli angoli
esso è il diedro gli altri sono ecc.Se si esamina la figura, si può
osservare che vi è una porzione di spazio che appare racchiusa
dai cinque angoli dati, precisamente quella i cui punti appartengono
contemporaneamente ai diedri considerati. Ad essa si dà il nome di
angoloide.Più semirette OA, OB, OC..., aventi la stessa origine O, non giacenti nello stesso piano e tali che il piano di due consecutive di esse, stabilito un certo ordine, lasci da una stessa banda
tutte le altre, formano gli angoli
che individuano
un angoloide.Gli angoli si dicono facce, il vertice comune vertice, i lati spigoli dell'angoloide, l'insieme delle facce superficie dell'angoloide.
Il diedro formato dai sermipiani di due facce consecutive si chiama diedro dell'angoloide.
L'insieme dei diedri e delle facce si chiamano elementi dell'angoloide.
Se l'angoloide è individuato da n semirette, da n facce e da n diedri, si chiama angoloide ennaedro; in particolare il triedro è un angoloide con tre facce, se le facce sono quattro, cinque... l'angoloide si chiama tetraedro, pentaedro...
Due angoloidi si dicono opposti al vertice quando gli spigoli dell'uno sono opposti a quelli dell'altro.
Un angoloide di vertice O e di spigoli OA, OB, OC... si indica con
Agli angoloidi si estendono i due teoremi riguardanti i triedri.
Teorema - In un angoloide una faccia è minore della somma di tutte le altre.
Teorema - In un angoloide la somma delle facce è minore di quattro retti.