MIKY & GENNY

TRASFORMAZIONE DEI POLIGONI ---> INDICE

1)-Trasformare un triangolo in un altro triangolo di base data.

Sia ABC il triangolo dato. Partendo da A, sulla semiretta AB si costruisce un segmento AD uguale alla base data. Si congiunge D con CB e da B si traccia la parallela a DC, fino ad incontrare il lato AC, o il prolungamento, in un punto C'. Infine si congiunge D con C'. Il triangolo richiesto è ADC'. Infatti, il triangolo dato ABC e il triangolo ottenuto ADC', il quale ha la base AD uguale alla base data, sono somme dello stesso triangolo ABC' e rispettivamente dei triangoli BCC', BC'D, i quali sono equivalenti perchè hanno la stessa base BC' e i vertici opposti C e D su una retta parallela a questa.

2)-Trasformare un triangolo in un altro triangolo di altezza data.
Sia ABC un triangolo dato. Dalla parte di C, rispetto ad AB si conduce la parallela ad AB che abbia da AB distanza uguale all'altezza. Sia D il punto in cui tale parallela incontra il lato AC o il suo prolungamento. Si congiunge D con B e da C si traccia la parallela a BD, la quale incontra la retta del lato AB in un punto C'. Infine si congiunge D con C'. Il triangolo ADC' ha l'altezza richiesta ed è equivalente al triangolo dato ABC. Infatti, il triangolo ABC e il triangolo ottenuto ADC' sono composti dal triangolo comune ACC' e dai triangoli C'CD e C'CB, che sono equivalenti perchè hanno la stessa base CC' e la stessa altezza; quindi sono equivalenti.

3)-Trasformare un poligono in un triangolo equivalente.
Sia dato il poligono ABCDE. Inizialmente si trasforma in un altro poligono con un lato in meno: si traccia la diagonale che unisce gli estremi non comuni di due lati consecutivi, ad esempio B con D; dall'estremo comune C si traccia la parallela a BD fino ad incontrare il prolungamento del terzo lato consecutivo AB in un punto F. Dopo aver unito D con FM si ottiene il poligono AFDE che ha un lato in meno del dato. Si dimostra che è a questo equivalente. Infatti, i triangoli BDF e BDC sono equivalenti perchè hanno la base BD in comune ed uguali altezze, perchè i vertici opposti C e F stanno sulla retta CF parallela a BD. Ora, il poligono ABCDE è somma del poligono ABDE e del triangolo BDC; il poligono ottenuto AFDE è somma di dello stesso poligono ABDE e del triangolo BDF. Quindi, come somme di poligoni equivalenti, i due poligoni ABCDE e AFDE sono equivalenti. Ripetendo la costruzione sul poligono ottenuto, si ha un altro poligono con un altro lato in meno, cioè con due in meno di quello dato. Continuando così successivamente per un numero conveniente di volte, si ottiene infine un triangolo equivalente al poligono dato.

4)-Trasformare un rettangolo in un quadrato.
Sia ABCD il rettangolo dato. Sul lato maggiore AB si descrive una semicirconferenza avente AB come diametro. Dopo aver preso internamente ad AB un segmento BE uguale a BC, si traccia da E una perpendicolare fino ad incontrare la semicirconferenza in un punto F; BF è il lato del quadrato richiesto. Infatti, se si congiunge F con A, il triangolo AFB risulta rettangolo e BE risulta uguale alla proiezione del cateto BF sull'ipotenusa. Per il teorema di Euclide è dunque:

Essendo BE e BC uguali per costruzione, si ha:

5)-Trasformare un poligono in un quadrato.
Si trasforma il poligono in un triangolo, questo in un rettangolo, che deve avere la stessa altezza e base a metà, ed infine il rettangolo in un quadrato.