MIKY & GENNY

ALTEZZE, MEDIANE E BISETTRICI DI UN TRIANGOLO ---> INDICE

Altezze
Sia ABC un triangolo qualsiasi; si indichino con ha, hb, hc le misure delle altezze relative ai lati a, b, c.


L'area del triangolo è data da:


da cui


Sostituendo ad S il suo valore espresso dalla formula di Erone, si ha:


e le analoghe


Le tre formule suddette esprimono le altezze del triangolo in funzione dei lati.

Mediane
Sia ABC un triangolo qualsiasi; si indichino con ma, mb, mc le misure delle mediane relative ai lati a, b, c, sia M il punto medio del lato BC e β l'angolo acuto che la mediana AM forma con il lato BC.


Applicando il teorema di Carnot ai due triangoli ACM, ABM, si ha:



Sommando membro a membro, risulta:


o anche

2(b2 + c2) = a2 + 4ma2,

da cui


e quindi


Analogamente


Le tre formule suddette esprimono le mediane del triangolo in funzione dei lati.

Bisettrici
Sia ABC un triangolo qualsiasi; si indichino con bα, bβ, bγ le misure delle bisettrici degli angoli rispettivamente di vertici A, B, C.


Indicata con H l'intersezione della bisettrice dell'angolo  con il lato opposto, e con m, n le misure dei due segmenti in cui resta diviso il lato BC, per una nota proprietà di geometria si può scrivere:

m : n = c : b

e, applicando il componendo, risulta

(m + n) : m = (c + b) : c,  (m + n) : n = (c + b) : b,

quindi, essendo

m + n = a,

si ha


Si applica ora il teorema dei seni al triangolo ABH, pertanto risulta:


da cui


o anche


Dalle formule di Briggs, si ha:


e, sostituendo nell'espressione precedente, risulta



o anche, semplificando,


Analogamente, risulta:


Le tre formule suddette esprimono le bisettrici degli angoli del triangolo in funzione dei lati.