MIKY & GENNY
ANGOLI ASSOCIATI ---> INDICE
Esistono
degli angoli per i quali le funzioni goniometriche, a meno del
segno, hanno gli stessi valori, oppure per i quali i valori delle
funzioni stesse risultano scambiati. Tali angoli si chiamano angoli associati.
1)-Angoli complementari
Definizione - Due angoli si dicono complementari, se la loro somma è 90°, oppure se differisce da 90° per un multiplo qualsiasi di 360°.
Quindi il complementare di un angolo α si può indicare con la scrittura
oppure
Ad esempio, gli angoli di 30° e 60° sono complementari; analogamente, sono complementari gli angoli di 150° e 300°; e così di seguito.
Nota bene
Per comodità di scrittura le misure degli angoli sono state indicate in gradi, però è bene tenere presente la corrispondente misura in radianti.
Si consideri un angolo
appartenente al I quadrante e sia 
il suo complementare; si abbassano da P e da P' le perpendicolari
all'asse delle x e si ottengono i due punti d'intersezione Q e Q' e
quindi i due triangoli reettangoli OQP e OQ'P', che sono uguali fra
loro.
Infatti,
perchè alterni interni; 
perchè complementari dello stesso angolo 
; allora segue che 
e i triangoli rettangoli in questione, avendo uguale l'ipotenusa e un angolo, sono uguali.
In particolare si deduce:
1)-Angoli complementari
Definizione - Due angoli si dicono complementari, se la loro somma è 90°, oppure se differisce da 90° per un multiplo qualsiasi di 360°.
Quindi il complementare di un angolo α si può indicare con la scrittura
90° - α + k360°,
oppure
Ad esempio, gli angoli di 30° e 60° sono complementari; analogamente, sono complementari gli angoli di 150° e 300°; e così di seguito.
Nota bene
Per comodità di scrittura le misure degli angoli sono state indicate in gradi, però è bene tenere presente la corrispondente misura in radianti.
Si consideri un angolo
appartenente al I quadrante e sia
il suo complementare; si abbassano da P e da P' le perpendicolari
all'asse delle x e si ottengono i due punti d'intersezione Q e Q' e
quindi i due triangoli reettangoli OQP e OQ'P', che sono uguali fra
loro.Infatti,
perchè alterni interni; perchè complementari dello stesso angolo ; allora segue che e i triangoli rettangoli in questione, avendo uguale l'ipotenusa e un angolo, sono uguali.In particolare si deduce:
OQ' = QP, Q'P' = OQ
e quindi
Ricordando che
dalle (1) seguono le relazioni
Infine, siccome
A al punto seguono tre regole fondamentali.
Regola 1 - Il coseno di un angolo è uguale al seno dell'angolo complementare, e viceversa.
Regola 2 - La cotangente di un angolo è uguale alla tangente dell'angolo complementare, e viceversa.
Regola 3 - La secante di un angolo è uguale alla cosecante dell'angolo complementare, e viceversa.
2)-Angoli supplementari
Definizione - Due angoli si dicono supplementari, se la loro somma è 180°, oppure se differisce da 180° per un multiplo qualsiasi di 360°.
Quindi il supplementare di un angolo α si può indicare con la scrittura
appartenente al I quadrante e sia
il suo supplementare; i due punti P e P' si troveranno quindi su una
parallela all'asse delle x ed allora, abbassando da essi le
perpendicalari PQ e PQ' all'asse delle x si ottengono i due
triangoli rettangoli uguali OQP e OQ'P'.
Tenendo conto dei versi, si ottiene
OQ' = -OQ, Q'P' = QP
da cui risulta anche
Analogamente si hanno le formule
A tal punto seguono tre regole fondamentali.
Regola 1 - I seni di angoli supplementari sono uguali.
Regola 2 - I coseni, le tangenti e le cotangenti di angoli supplementari sono uguali e di segno contrario.
Regola 3 - Le secanti di angoli supplementari sono uguali e di segno contrario; le cosecanti sono uguali.
3)-Angoli che differiscono di 180°
Si considera un angolo appartenente al I quadrante e sia un angolo che differisce da α di 180°, cioè sia
I due
punti P e P' sono diametralmente opposti e quindi, se da essi si
tracciano le perpendicolari PQ, P'Q' all'asse delle x, i due triangoli rettangoli OQP e OQ'P' sono uguali.
Tenendo conto dei versi, si ha:
OQ' = -OQ, Q'P' = -QP
A tal punto seguono tre regole fondamentali.
Regola 1 - I seni e i coseni di angoli che differiscono di 180° sono uguali e di segno contrario.
Regola 2 - Le tangenti e le cotangenti di angoli che differiscono di 180° sono uguali.
Regola 3 - Le secanti e le cosecanti di angoli che differiscono di 180° sono uguali e di segno contrario.
Dalla regola 1 si deduce che per le funzioni seno e coseno l'angolo di 180° è un semiperiodo, dalla 2 segue di nuovo che l'angolo di 180° è un periodo per le funzioni tangente e cotangente.
4)-Angoli opposti
L'opposto di un angolo si può indicare con -α + k360°, oppure, se si considerano misure positive, con 360° - α + k360°.
Ad esempio, i due angoli di 30° e -30° sono opposti; analogamente, sono opposti gli angoli di 60° e 300°, perchè 60° + 300° = 360°.
Si considera un angolo appartenente al I quadrante e sia il suo angolo opposto; i due punti P e P', perciò, si troveranno sulla parallela all'asse delle y.
I due triangoli rettangoli uguali OQP e OQ'P' risultano uguali fra loro e, tenendo conto dei versi, si ha QP' = -QP. Quindi:
da cui risulta anche
Ricordando che
dalle (1) seguono le relazioni
Infine, siccome
si ha anche
A al punto seguono tre regole fondamentali.
Regola 1 - Il coseno di un angolo è uguale al seno dell'angolo complementare, e viceversa.
Regola 2 - La cotangente di un angolo è uguale alla tangente dell'angolo complementare, e viceversa.
Regola 3 - La secante di un angolo è uguale alla cosecante dell'angolo complementare, e viceversa.
2)-Angoli supplementari
Definizione - Due angoli si dicono supplementari, se la loro somma è 180°, oppure se differisce da 180° per un multiplo qualsiasi di 360°.
Quindi il supplementare di un angolo α si può indicare con la scrittura
180° - α + k360° oppure π - α + 2kπ.
Si considera ora un angolo Ad esempio, gli angoli di 60° e 120° sono supplementari; analogamente,
sono supplementari gli angoli di 220° e 330°, perchè la
loro somma è uguale a 540° = 180° + 360°.
appartenente al I quadrante e sia
il suo supplementare; i due punti P e P' si troveranno quindi su una
parallela all'asse delle x ed allora, abbassando da essi le
perpendicalari PQ e PQ' all'asse delle x si ottengono i due
triangoli rettangoli uguali OQP e OQ'P'.Tenendo conto dei versi, si ottiene
e quindi
da cui risulta anche
Analogamente si hanno le formule
sec(180° - α) = -secα, cosec(180° - α) = cosecα.
A tal punto seguono tre regole fondamentali.
Regola 1 - I seni di angoli supplementari sono uguali.
Regola 2 - I coseni, le tangenti e le cotangenti di angoli supplementari sono uguali e di segno contrario.
Regola 3 - Le secanti di angoli supplementari sono uguali e di segno contrario; le cosecanti sono uguali.
3)-Angoli che differiscono di 180°
Si considera un angolo
appartenente al I quadrante e sia un angolo che differisce da α di 180°, cioè siaTenendo conto dei versi, si ha:
OQ' = -OQ, Q'P' = -QP
e quindi
da cui risulta anche
Analogamente si hanno le formulesec(180° + α) = -secα, cosec(180° + α) = -cosecα.
A tal punto seguono tre regole fondamentali.
Regola 1 - I seni e i coseni di angoli che differiscono di 180° sono uguali e di segno contrario.
Regola 2 - Le tangenti e le cotangenti di angoli che differiscono di 180° sono uguali.
Regola 3 - Le secanti e le cosecanti di angoli che differiscono di 180° sono uguali e di segno contrario.
Dalla regola 1 si deduce che per le funzioni seno e coseno l'angolo di 180° è un semiperiodo, dalla 2 segue di nuovo che l'angolo di 180° è un periodo per le funzioni tangente e cotangente.
4)-Angoli opposti
L'opposto di un angolo si può indicare con -α + k360°, oppure, se si considerano misure positive, con 360° - α + k360°.
Ad esempio, i due angoli di 30° e -30° sono opposti; analogamente, sono opposti gli angoli di 60° e 300°, perchè 60° + 300° = 360°.
Si considera un angolo
appartenente al I quadrante e sia il suo angolo opposto; i due punti P e P', perciò, si troveranno sulla parallela all'asse delle y.I due triangoli rettangoli uguali OQP e OQ'P' risultano uguali fra loro e, tenendo conto dei versi, si ha QP' = -QP. Quindi:
da cui risulta anche
Analogamente si hanno le formule
Si raccolgono ora i risultati ottenuti nel seguente prospetto:sec(360° - α) = sec(-α) = secα, cosec(360° - α) = cosec(-α) = -cosecα.