MIKY & GENNY
AREA DEL TRIANGOLO ---> INDICE
Si
consideri un triangolo qualsiasi ABC e si conduca dal vertice C
l'altezza CH, indicata con h, al lato opposto; dal triangolo rettangolo
CHA risulta:
h = bsenα.
Allora, se si indica con S l'area del triangolo considerato, si ha:
Si osserva ora che α è l'angolo compreso fra i due lati b e c, pertanto si può enunciare la seguente regola:
-l'area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo fra essi compreso.
La (1) si può trasformare in una formula molto utile quando di un triangolo si conoscono un lato e gli angoli adiacenti.
Infatti, partendo dal teorema dei seni, si ricava il valore:
Poichè si ha
β = 180° - (α + γ),
da cui
senβ = sen(α + γ),
Allora, se si indica con S l'area del triangolo considerato, si ha:
Si osserva ora che α è l'angolo compreso fra i due lati b e c, pertanto si può enunciare la seguente regola:
-l'area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo fra essi compreso.
La (1) si può trasformare in una formula molto utile quando di un triangolo si conoscono un lato e gli angoli adiacenti.
Infatti, partendo dal teorema dei seni, si ricava il valore:
che sostituito nella (1) fornisce l'altra formula
Poichè si ha
da cui
senβ = sen(α + γ),
sostituendo segue la formula cercata
Partendo dalla (1) si può ottenere per l'area di un triangolo un'espressione in funzione dei tre lati.
Infatti, ricordando le formule di Briggs
ed osservando che, applicando le formule di duplicazione, si può scrivere:
risulta che
Sostituendo il valore di senα nella (1), si ha:
e semplificando risulta
La (3) è la nota formula di Erone; essa esprime l'area di un triangolo in funzione dei lati.
Nota storica
Erone il vecchio visse ad Alessandria nel I secolo a. C. Nella sua Pneumatica è contenuta una dimostrazione dell'area del triangolo in funzione dei tre lati. Di Erone è anche notevole il trattato sulle "Misure", nel quale vengono introdotte per la prima volta nella scienza le unità di misura fisse.
Casi particolari
1° - Caso del triangolo equilatero di lato l.
Essendo a = b = c = l, si ha:
e, sostituendo nella (3), risulta
Questa è la nota formula che esprime l'area di un triangolo equilatero in funzione del lato l.
2° - Caso del triangolo rettangolo di ipotenusa a.
Si trasforma il radicando della (3) come segue:
Siccome per ipotesi
b2 + c2 = a2,
si ha anche:
(b + c)2 - a2 = 2bc, a2 - (b - c)2 = 2bc,
quindi
da cui, sostituendo nella (3), si ha la nota formula
Dalle formule di Briggs si possono ottenere altre espressioni, anche se poco usate ma interessanti, che legano l'area di un triangolo alle misure dei lati e degli angoli.
Si parte dalle formule di Briggs relative ai seni, cioè da:
moltiplicando membro a membro, risulta
Inoltre, per la formula di Erone si ha:
da cui
e allora, sostituendo nella formula precedente, segue
che è la prima delle formule cercate.
Procedendo analogamente, partendo dalle formule di Briggs relative ai coseni, cioè da:
e moltiplicando membro a membro, risulta
inoltre, tenendo conto della formula di Erone, si ha
Infine, partendo dalle formule di Briggs relative alle tangenti, cioè da:
moltiplicando membro a membro, si ottiene
Partendo dalla (1) si può ottenere per l'area di un triangolo un'espressione in funzione dei tre lati.
Infatti, ricordando le formule di Briggs
ed osservando che, applicando le formule di duplicazione, si può scrivere:
risulta che
Sostituendo il valore di senα nella (1), si ha:
e semplificando risulta
La (3) è la nota formula di Erone; essa esprime l'area di un triangolo in funzione dei lati.
Nota storica
Erone il vecchio visse ad Alessandria nel I secolo a. C. Nella sua Pneumatica è contenuta una dimostrazione dell'area del triangolo in funzione dei tre lati. Di Erone è anche notevole il trattato sulle "Misure", nel quale vengono introdotte per la prima volta nella scienza le unità di misura fisse.
Casi particolari
1° - Caso del triangolo equilatero di lato l.
Essendo a = b = c = l, si ha:
e, sostituendo nella (3), risulta
Questa è la nota formula che esprime l'area di un triangolo equilatero in funzione del lato l.
2° - Caso del triangolo rettangolo di ipotenusa a.
Si trasforma il radicando della (3) come segue:
Siccome per ipotesi
b2 + c2 = a2,
si ha anche:
(b + c)2 - a2 = 2bc, a2 - (b - c)2 = 2bc,
quindi
da cui, sostituendo nella (3), si ha la nota formula
Dalle formule di Briggs si possono ottenere altre espressioni, anche se poco usate ma interessanti, che legano l'area di un triangolo alle misure dei lati e degli angoli.
Si parte dalle formule di Briggs relative ai seni, cioè da:
moltiplicando membro a membro, risulta
Inoltre, per la formula di Erone si ha:
da cui
e allora, sostituendo nella formula precedente, segue
che è la prima delle formule cercate.
Procedendo analogamente, partendo dalle formule di Briggs relative ai coseni, cioè da:
e moltiplicando membro a membro, risulta
inoltre, tenendo conto della formula di Erone, si ha
Infine, partendo dalle formule di Briggs relative alle tangenti, cioè da:
moltiplicando membro a membro, si ottiene
Dalla formula di Erone si deduce:
e, sostituendo nella formula precedente, risulta
