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Se consideriamo la trasformazione geometrica P' = 1/P*, detta inversione principale di centro 0 o anche inversione circolare di centro 0 e potenza 1, entriamo nell'ambito di trasformazioni che non conservano l'allineamento, che a rette possono far corrispondere curve con altra forma. Ad esempio a circonferenze passanti per 0 corrispondono rette non passanti per 0 e viceversa.
La corrispondenza involutoria (P')' = (1/P*)' = 1/(1/P*)* = P
Le rette per 0 hanno per corrispondenti se stesse P e 1/P* hanno infatti lo stesso argomento
La circonferenza di centro 0 e raggio unitario ha per corrispondente se stessa tutti i sui punti sono uniti
Le circonferenze di centro 0 e raggio r hanno per corrispondenti circonferenze concentriche di raggio 1/r da |P|=r deriva che |1/P*|=1/r e quindi |P'|=1/r
a circonferenze non passanti per 0 corrispondono circonferenze non passanti per 0 dall'equazione generale di una circonferenza nel piano cartesiano si ricava quella nel piano complesso,

|P|2 + aRe(P) + bIm(P) + c = 0,

e da qui, poich se P'=1/P* allora z=1/P'*= P'/|P'|2, la curva corrispondente dovr avere equazione

| P'/|P'|2 |2 + aRe(P'/|P'|2) + bIm(P'/|P'|2) + c = 0,

che con qualche calcolo si mostra essere della forma

c|P'|2 + aRe(P') + bIm(P') + 1 = 0

Equazioni nel piano cartesiano con asse x = asse Re e asse y = asse Im
         kx
ì x' = —————————
ï       x² + y²
í
ï         ky
î y' = —————————
        x² + y²

L'equazione complessa P' = k/P* con k reale quella di una inversione circolare di centro 0 e potenza k.

In generale l'equazione complessa (ABCP')=(ABCP)* quella di un'inversione rispetto alla circonferenza che passa per i punti A, B e C.


pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione