Dis_Trigo

Iniziamo con una nota comparsa sui "Nouvelles Annales de Mathématiques" del 1844 di Olry Terquem, (1782-1862) che all'epoca era uno dei direttori della rivista. Nella nota dal titolo "Sulla differenza tra un arco ed il suo seno" l'autore dimostra una disuguaglianza trigonometrica che dichiara di aver ripreso dalle opere di Pappo: Libro V, Proposizione XV.

Terquem fu "Répétiteur" alla "Ecole Polytechnique"; professore di matematica al liceo, poi alla Scuola di artiglieria, di Mayence, ritornò a Parigi nel 1804 per occupare il posto di bibliotecario al "Deposito centrale di artiglieria". Collaborò al "Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville", nel 1842 fondò e diresse assieme a Gérono, i "Nouvelles annales de mathématiques". Ufficiale della Legion d'Onore nel 1852.

F.J. Servois

"Almanach Royal pour l'an M DCCC XXVII", Paris, Chez A. Guyot et Scribe, pag.162-163.
Croci, nell'ordine: Cavaliere dell'Ordine Militare di S. Luigi, Cavaliere della Legion d'Onore.

Per dimostrare che

Terquem considera due disuguaglianze che derivano rispettivamente dal fatto che, per archi minori di un quarto di circonferenza, si ha che l'arco AB e' minore del segmento AE e l'arco BC e' minore del segmento CD

L'Autore sviluppa separatamente le due disuguaglianze poi le combina in un rapporto e in una decina di passaggi arriva al risultato.

Pappo, Libro V, Proposizione XV, non fa ricorso alla trigonometria (IV secolo) ed opera sulle aree della figura riportata a fianco. La sua tesi afferma che il rapporto tra l'area di un settore circolare e l'area del suo segmento e' maggiore del rapporto tra l'angolo retto e l'angolo di tale settore. Se consideriamo l'angolo in radianti e lo chiamiamo x , traducendo questa proposizione in formule si ha

che corrisponde alla disuguaglianza di Terquem. Anche in questo caso la dimostrazione richiede una decina di passaggi e si sviluppa utilizzando le proporzioni e le loro proprietà. Sia nella dimostrazione di Terquem che in quella di Pappo gli aspetti puramente tecnici hanno un peso notevole.

Fridericus Hultsch, "Pappi alexandrini collectio", Berolini, MDCCCLXXVI

Sulle pagine del "Journal de Mathématiques élémentaires" diretto da De Longchamps nel 1895 compare una nota di M. Fouché su una disuguaglianza migliore della precedente. Si tratta di esprimere il fatto che il segmento circolare BAN ha un'area minore dell'area del rettangolo BADC ottenuto mandando una retta tangente alla circonferenza e parallela alla corda BA. Posto l'angolo AOB = x si ha

da cui segue		ma		quindi

Sempre sulle pagine del "Journal de Mathématiques élémentaires" nel 1889 era comparsa una disuguaglianza decisamente migliore anche se ottenuta con una costruzione che si ripete indefinitamente.

Par M. Desmons (1889)

professeur au lycée Janson de Sailly

Posto l'angolo AOB = x la quantita'

rappresenta il doppio dell'area del segmento circolare BAC quindi si tratta di trovare un limite superiore a questa area. Allora dal iniziamo dal triangolo AOB e, come primo passo, prendiamo C che dimezza l'arco AB e aggiungiamo il triangolo ACB quindi dimezziamo con D ed E i due archi BC e CA e aggiungiamo i due triangoli BDC e CEA e iteriamo indefinitamente.

Posto l'angolo AOB = x = x₀ e S l'area del segmento circolare si ha