Risposta al gradino.

Definition 5.4   Il gradino di ampiezza $A$ è definito come:

$$x\left(t\right)=\left\{ \begin{array}{l} 0\qquad\forall t\in\Re:t\le0\\ A\qquad\forall t\in\Re:t\ge0\end{array}\right.$$

per cui, si ha:

$$a_{1}\frac{dy\left(t\right)}{dt}+a_{0}y\left(t\right)=b_{0}A$$

dividendo primo e secondo membro per $a_{0}\ne0$ si ha:

$$\frac{a_{1}}{a_{0}}\frac{dy\left(t\right)}{dt}+y\left(t\right)=\frac{b_{0}}{a_{0}}A$$

e ponendo:

$$\tau=\frac{a_{1}}{a_{0}}\qquad K=\frac{b_{0}}{a_{0}}$$

la precedente diviene:

$$\tau\frac{dy\left(t\right)}{dt}=KA-y\left(t\right)$$

$$\tau dy\left(t\right)=\left[KA-y\left(t\right)\right]dt$$

$$\frac{dy\left(t\right)}{KA-y\left(t\right)}=\frac{1}{\tau}dt$$

ponendo:

$$u\left(y\right)=KA-y\left(t\right)$$

si ha:

$$du\left(y\right)=-dy\left(t\right)$$

per cui l'equazione differenziale, diviene:

$$-\frac{du\left(t\right)}{u\left(t\right)}=\frac{1}{\tau}dt$$

$$\frac{du\left(t\right)}{u\left(t\right)}=-\frac{1}{\tau}dt$$

integrando:

$$\ln\left\vert u\left(t\right)\right\vert=-\frac{t}{\tau}+c$$

ed ancora:

$$u\left(t\right)=e^{-\frac{t}{\tau}+c}$$

$$u\left(t\right)=e^{c}e^{-\frac{t}{\tau}}$$

ponendo $u\left(t=0\right)=KA$, si ottiene:

$$KA=e^{c}$$

per cui:

$$u\left(t\right)=KAe^{-\frac{t}{\tau}}$$

ma ricordando la precedente posizione si ha:

$$KA-y\left(t\right)=KAe^{-\frac{t}{\tau}}$$

$$y\left(t\right)=KA\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$$

la risposta normalizzata è:

$$\frac{y\left(t\right)}{KA}=1-e^{-\frac{t}{\tau}}$$

Figure: Risposta normalizzata al gradino.