Risposta alla rampa.

Definition 5.4   Si definisce rampa di coefficiente angolare $A$, la funzione:

$$x\left(t\right)=\left\{ \begin{array}{l} 0\qquad\forall t\in\Re:t<0\\ At\qquad\forall t\in\Re:t\ge0\end{array}\right.$$

il segnale in ingresso (rampa), la relazione che lega grandezza d'uscita ed ingresso è:

$$a_{1}\frac{dy\left(t\right)}{dt}+a_{0}y\left(t\right)=b_{0}A$$

dividendo primo e secondo membro per $a_{0}\ne0$, si ha:

$$\frac{a_{1}}{a_{0}}\frac{dy\left(t\right)}{dt}+y\left(t\right)=\frac{b_{0}}{a_{0}}At$$

cioè:

$$\tau\frac{dy\left(t\right)}{dt}+y\left(t\right)=KAt$$

si risolve l'equazione differenziale:

$$\tau\frac{dy\left(t\right)}{dt}=KAt-y\left(t\right)$$

ponendo:

$$u\left(t\right)=KAt-y\left(t\right)$$

si ha:

$$\frac{du\left(t\right)}{dt}=KA-\frac{dy\left(t\right)}{dt}$$

per cui l'equazione differenziale si trasforma in:

$$KA-\frac{du\left(t\right)}{dt}=\frac{1}{\tau}u\left(t\right)$$

ovvero:

$$\frac{du\left(t\right)}{dt}=KA-\frac{1}{\tau}u\left(t\right)$$

dalla quale ancora si ottiene:

$$\frac{du\left(t\right)}{\tau KA-u\left(t\right)}=\frac{1}{\tau}dt$$

per la quale si ha soluzione:

$$u\left(t\right)=\tau KA\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$$

ed infine:

$$y\left(t\right)=KA\left[t-\tau\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\right]$$

la risposta normalizzata è:

$$\frac{y\left(t\right)}{KA\tau}=\frac{t-\tau\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)}{\tau}=\frac{t}{\tau}+e^{-\frac{t}{\tau}}-1$$

Figure: Risposta normalizzata alla rampa.